Darstellung des Normalenvektors eines doppelten Kreuzprodukts

01.05.2020, 20:45

Omni

Darstellung des Normalenvektors eines doppelten Kreuzprodukts

Meine Frage:
Der Vektor \vec{v} = \vec{a} x (\vec{b} x \vec{c} )
steht senkrecht auf \vec{b} x \vec{c} und liegt daher in der Ebene, die durch die Vektoren \vec{b}
und \vec{c} aufgespannt wird. Darüberhinaus steht \vec{v} senkrecht auf \vec{a}.
i) Stellen Sie \vec{v} mithilfe von \vec{b} und \vec{c} dar. Bestimmen Sie eine Beziehung zwischen den unbekannten Koeffizienten, indem Sie das Skalarprodukt aus \vec{v} und \vec{a} ausnutzen. Geben Sie nun \vec{v} an; dies ist möglich bis auf eine multiplikative Konstante, die nicht von den Vektoren \vec{a}; \vec{b} und \vec{c} abhängt.
ii) Wählen Sie einen geeigneten Spezialfall für \vec{a}; \vec{b} und \vec{c}, um auch noch diese Konstante zu bestimmen. Sie sollten damit den Entwicklunsgssatz ~a (~b ~c) =~b (~a ~c ) 1048576~c (~a ~b )
(bac-cab Regel) erhalten.

Wenn mir jemand erklären könnten wie die a) und vielleicht auch die b) funktioniert, wäre ich sehr dankbar! Big Laugh

Meine Ideen:
Für die i) habe ich den Vektor als Linearkombination aus \vec{b} und \vec{c} mit den Koeffizienten \lambda und \gamma: \lambda\vec{b}+\gamma\vec{c}. Wie man das Skalarprodukt aus \vec{v} und \vec{a} verwendet um die Beziehung zwischen den Koeffizienten zu bestimmen, habe ich nicht herausfinden können. Ich weiss nur dass das Skalaprodukt = 0 ist.
Den Entwicklungssatz für die ii) kann ich durch die normale Definition mit \vec{a}x(\vec{b}x\vec{c}) herleiten, dies ist allerdings ja nicht für die Aufgabe gefragt und ohne die i) kann man die ii) nicht machen.

01.05.2020, 22:51

Ulrich Ruhnau

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RE: Darstellung des Normalenvektors eines doppelten Kreuzprodukts

Zitat:

Original von Omni
Meine Frage:
Der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c} ) \end{eqnarray*}$
steht senkrecht auf $\begin{eqnarray*} \vec{b} \times \vec{c} \end{eqnarray*}$ und liegt daher in der Ebene, die durch die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird. Darüberhinaus steht $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ .
i) Stellen Sie $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ mithilfe von $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ dar. Bestimmen Sie eine Beziehung zwischen den unbekannten Koeffizienten, indem Sie das Skalarprodukt aus $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ausnutzen. Geben Sie nun $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ an; dies ist möglich bis auf eine multiplikative Konstante, die nicht von den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ abhängt.
ii) Wählen Sie einen geeigneten Spezialfall für $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ , um auch noch diese Konstante zu bestimmen. Sie sollten damit den Entwicklunsgssatz $\begin{eqnarray*} ~a (~b ~c) =~b (~a ~c )1048576~c (~a ~b ) \end{eqnarray*}$
(bac-cab Regel) erhalten.

Hallo Omni,
Ich habe Deinen Text mal bearbeitet, damit Latex auch als solches angezeigt werden kann. Du solltest in Zukunft den blauen f(x)-Knopf drücken, um \[latex\]-Tags zu erzeugen, sonst wird Latex nicht als solches interpretiert.

Vielleicht kann Dir diese Seite helfen, eine passende Formel zu finden.

01.05.2020, 22:54

Omni

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RE: Darstellung des Normalenvektors eines doppelten Kreuzprodukts
Vielen dank! Da ich nicht eingeloggt war konnte ich es nachträglich nicht mehr bearbeiten

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