Integration

01.05.2020, 23:24

MRxxx

Integration

Hey Leute soll ich hier partiell integrieren ?

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\sqrt{x} } \! 2x^3*cos(x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

Oder soll ich als Substitution u =x^2 verwenden ?

Sehe das nicht so schnell

02.05.2020, 00:44

klauss

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RE: Integration
Habe mir das grob skizziert, es müßten beide Wege gehen. Ich glaube auch, es wäre interessant, beide Wege tatsächlich einmal durchzurechnen und dann den Aufwand zu vergleichen. Fang also ruhig spontan nach Gefühl an.
Anmerkung: Unter der Wurzel sollte aber nicht die Integrationsvariable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stehen.

Edit: Ich habe es mir nochmal vorgenommen und kann bestätigen, dass beide Wege gehen. Obwohl einer etwas kürzer ist, gebe ich aus pädagogischen Gründen keine Empfehlung ab.

02.05.2020, 09:12

HAL 9000

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Warum nicht beides in Kombination? Zuerst die Substitution, und dann auf das entstehende Integral partielle Integration!

02.05.2020, 09:30

Mrxxx

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Integration
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\sqrt{x} } \! 2x^3*cos(x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

[latex]u=x^2

dx= du/2x

\int_{0}^{\sqrt{x} } \! 2x^3*cos(u) \, du/2x

[latex]

Was mache ich mit dem x^3 und dem 2x jetzt?

Habe die Regel irgendwie vergessen

02.05.2020, 09:37

Mrxxx

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RE: Integration

Zitat:

Original von Mrxxx
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\sqrt{x} } \! 2x^3*cos(x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x^2 dx= du/2x \int_{0}^{\sqrt{x} } \! 2x^3*cos(u) \, du/2x \end{eqnarray*}$

Was mache ich mit dem x^3 und dem 2x jetzt?

Habe die Regel irgendwie vergessen

02.05.2020, 09:41

cyberfrog

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Kürze und ersetze das verbleibende x² wiederum durch u.
Die Integrationsgrenzen kannst du auch noch durch u ausdrücken.

02.05.2020, 09:58

Mrxxx

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RE: Integration
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\sqrt{x} } \! 2x^3*cos(x^2) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x^2 dx= du/2x \int_{0}^{\sqrt{x} } \! u*cos(u) \, du = \end{eqnarray*}$

Jetzt partiell integrieren oder ?

02.05.2020, 10:00

cyberfrog

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So ist es.

02.05.2020, 10:02

Mrxxx

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Soll ich u als Stammfunktion und cos als Ableitung nehmen ?

02.05.2020, 10:06

cyberfrog

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Du musst dir bei der Festlegung von u und v ' immer überlegen, mit welcher Belegung das neue Integral einfacher wird.

02.05.2020, 10:27

Mrxxx

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RE: Integration
$\begin{eqnarray*} u=x^2 dx= du/2x \int_{0}^{\sqrt{x} } \! u*cos(u) \, du = u*sin(u)- \int_{0}^{\sqrt{x} } \! sin(u)*1 \, du u*sin(u)+cos(u) Rücksubs = x^2*sin(x^2)+cos(x^2) \end{eqnarray*}$

Wie geht es weiter ?

Wie macht man das genau mit der Rücksubstitution und Grenzen einsetzen ?

02.05.2020, 10:30

HAL 9000

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Ein paar Anmerkungen zur Substitution im Zusammenhang mit den Integralgrenzen:

a) Es ist äußerst unglücklich, dass in der (ursprünglichen) oberen Integrationsgrenze das Symbol $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ steht, welches du GLEICHZEITIG auch als Integrationsvariable verwendest. So was tut man korrekterweise eigentlich nicht: Auch wenn es da z.B. viele Physiker nicht so genau nehmen, muss man ja nicht jede Unsitte adaptieren. Ich verwende daher mal $\begin{eqnarray*} \sqrt{X} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ als obere Integrationsgrenze, um da sauber arbeiten zu können.

b) Die Integrationsgrenzen MÜSSEN ebenfalls der Substitutionstransformation unterworfen werden. D.h. aus $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ wird per $\begin{eqnarray*} u=x^2 \end{eqnarray*}$ dann wieder $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{X} \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} u=X \end{eqnarray*}$ , insgesamt also

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^X u\cos(u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ .

3) Eine "Rücksubstitution" ist bei bestimmten Integralen gar nicht nötig. Man muss nur die Grenzen (wie in 2) beschrieben) sauber transformieren, dann rechnet man das u-Integral mit diesen neuen Grenzen schlicht aus.

02.05.2020, 11:07

Mrxxx

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RE: Integration
$\begin{eqnarray*} Rücksubs = x^2*sin(x^2)+cos(x^2) \end{eqnarray*}$

Soll ich hier jetzt die beiden Grenzen einsetzen und fertig ?

02.05.2020, 11:08

cyberfrog

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Zitat:

Wie macht man das genau mit der Rücksubstitution und Grenzen einsetzen ?

Wenn du es so machen möchtest, dann lass bei deiner Substitution die Integrationsgrenzen erstmal weg (unbestimmtes Integral).

Damit hast du ja dann zunächst eine Stammfunktion F(x) gefunden.

Der Hauptsatz der Integralrechung sagt dir für ein bestimmtes Integral ja dann, was zu tun ist:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b ~f(x)~dx=F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

Und noch eine Anmerkung:

Wenn du den Grundgedanken der Kettenregel kennst, dann kannst du bei sowas wie $\begin{eqnarray*} 2x \cdot cos(x^2) \end{eqnarray*}$ auch direkt auf die Idee kommen, diesen Faktor als v ' bei einer partiellen Integration zu nehmen, da einen dann ja förmlich anspringt, was v sein muss.
Mit diesem Ansatz sparst du dir die Substitution(en) und kommst mit genau einer partiellen Integration zum Ziel.

02.05.2020, 11:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von cyberfrog
Wenn du den Grundgedanken der Kettenregel kennst, dann kannst du bei sowas wie $\begin{eqnarray*} 2x \cdot cos(x^2) \end{eqnarray*}$ auch direkt auf die Idee kommen, diesen Faktor als v ' bei einer partiellen Integration zu nehmen, da einen dann ja förmlich anspringt, was v sein muss.
Mit diesem Ansatz sparst du dir die Substitution(en) und kommst mit genau einer partiellen Integration zum Ziel.

Für einen "erfahrenen" Rechner wie dich mag es ein gangbarer Weg sein, solche klitzekleinen Substitutionen wie $\begin{eqnarray*} u=x^2 \end{eqnarray*}$ einzusparen, und quasi im Kopf mit sowas wie dann $\begin{eqnarray*} 2x^3\cos(x^2) = x^2\cdot 2x\cos(x^2) = x^2\cdot (\sin(x^2))' \end{eqnarray*}$ zu operieren, ohne es explizit aufschreiben zu müssen. Ob das für einen Anfänger wie Mrxxx wirklich die bessere, ÜBERSICHTLICHERE Variante ist, ziehe ich in Zweifel. Da ist ein Einsparen der Substitution möglicherweise am falschen Ende gespart.

02.05.2020, 11:31

Mrxxx

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RE: Integration
$\begin{eqnarray*} Rücksubs = x^2*sin(x^2)+cos(x^2) Grenzen eingesetzt: x*sin(x)+cos(x) - 1 \end{eqnarray*}$

Richtig ?

@Hall Big Laugh

Wahrscheinlich hast du Recht

02.05.2020, 14:24

Mrxxx

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Noch da Leute Big Laugh

02.05.2020, 14:52

klauss

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RE: Integration

Zitat:

Original von Mrxxx
x*sin(x)+cos(x) - 1

Auch wenn Du die Hinweise zur Bezeichnung der Integralgrenze nicht kommentiert hast, ist das Ergebnis "im Prinzip" richtig.

Zusammenfassend also - rein zur Bestimmung einer Stammfunktion -, worauf ich letzte Nacht hinauswollte, bevor die Wochenendfrühaufsteher dann hier Gas gegeben haben:

Man substituiert zuerst $\begin{eqnarray*} u=x^{2} \end{eqnarray*}$ , dann fallen alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ weg und es folgt noch eine einfache partielle Integration in $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ . Das ist ein 5-Zeiler.
Oder man nimmt gleich partielle Integration, dann aber bevorzugt ausgehend von
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! v\cdot u' \, dx =\int_{}^{} \! x^{2}\cdot 2x\cos\left(x^{2} \right) \, dx \end{eqnarray*}$
Das ist mit Augenmaß ein 3-Zeiler.
Letzteres ist ein kleiner Trick, den man sich einprägen sollte, weil er immer wieder mal nützlich ist.

02.05.2020, 14:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von klauss
Auch wenn Du die Hinweise zur Bezeichnung der Integralgrenze nicht kommentiert hast...

... was übrigens der Grund für mich war, nicht weiter zu antworten: Wenn Hinweise auf gravierende syntaktische Mängel - wie das mit der falschen Integralgrenze - als "störend" empfunden und ignoriert werden, dann hänge ich mich auch nicht mehr rein. Augenzwinkern

02.05.2020, 23:49

Mrxxx

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Auch wenn Du die Hinweise zur Bezeichnung der Integralgrenze nicht kommentiert hast, ist das Ergebnis "im Prinzip" richtig.

Was ist an meiner Bezeichnung falsch ?

Habe doch Grenzen eingesetzt

03.05.2020, 01:30

klauss

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Du hast zweimal den Hinweis unbeachtet gelassen, dass ein Parameter in den Integrationsgrenzen nicht mit demselben Symbol wie die Integrationsvariable belegt werden soll. Das hat HAL 9000 nicht gefallen.
Mir kann es egal sein, denn den Schaden hast Du, wenn Dir in einer Prüfung dafür Punkte abgezogen werden. Der gute Rat war Dir angeboten worden. Augenzwinkern

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