Ableiten der geometrischen Reihe mit Vorfaktor

02.05.2020, 12:17	Laura1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableiten der geometrischen Reihe mit Vorfaktor Meine Frage: Hallöchen, ich möchte zeigen, dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{inf} k^3q^k \end{eqnarray}$ beschränkt (konstant) ist. Ich weiß, dass ein Weg dafür die Ableitung ist, also habe ich abgeleitet. Laut Skript gilt: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=1}^{inf} k^3q^k = q frac{d}{dq} \sum\limits_{k=1}^{inf} k^2q^k<br /> \end{eqnarray}$ Aber es müsste doch eigentlich gelten: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=1}^{inf} k^3q^k = \sum\limits_{k=1}^{inf} k^4q^k^-1<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich verstehe die Umformung nicht. Welche Ableitungsregel habe ich denn übersehen? Ich hoffe, jemand kann mir erkläre, was da passiert. Liebe Grüße, Laura
02.05.2020, 12:22	Laura12	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, mein Latexcode war zerstört Nochmal: ich dachte, dei Ableitung wäre folgende: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{inf} k^4 q ^{k-1} \end{eqnarray}$ und nicht diese: $\begin{eqnarray} q* \frac{d}{dq} \sum\limits_{k=1}^{inf} k^2 * q ^{k} \end{eqnarray*}$ Liebe Grüße
02.05.2020, 12:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd q}q^k = k\cdot q^{k-1} \end{eqnarray}$ , genau das wird dann auch gliedweise angewandt: $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd q} \sum_{k=1}^{\infty} k^2q^k = \sum_{k=1}^{\infty} k^2\cdot kq^{k-1} = \sum_{k=1}^{\infty} k^3q^{k-1} \end{eqnarray}$ Und dann wird links noch $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ dranmultipliziert, damit via $\begin{eqnarray} q\cdot q^{k-1} = q^k \end{eqnarray}$ auch der Exponent wieder "in Ordnung" kommt: $\begin{eqnarray} q\cdot \frac{\dd}{\dd q} \sum_{k=1}^{\infty} k^2q^k = \sum_{k=1}^{\infty} k^3q^k \end{eqnarray}$ Wie du dabei auf Faktor $\begin{eqnarray} k^4 \end{eqnarray}$ kommen willst, verstehe ich nicht.
02.05.2020, 12:32	Laura12Matheb	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohh, danke dir, durch das schrittweise Aufschreiben habe ich meinen Denkfehler entdeckt. Vielen Dank!!

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