Chinesischer Restsatz

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02.05.2020, 14:17	timmy4	Auf diesen Beitrag antworten »
Chinesischer Restsatz Meine Frage: Hallo, ich brauche Hilfe zu folgender Fragestellung. Vorgegeben ist die Verwendung des Chinesischen Restsatzes zum Lösen der Aufgabe: Anja, Bernhard, Clemens und Doris wollen einen Tag skifahren gehen, haben aber zu wenig Geld für die Tageskarte. Eine Tageskarte pro Person kostet 50 ?. Wir wissen: über das Geld in ihren Geldbörsen: Wenn Anja 1? Bernhard leihen würde, dann hätte Bernhard genau 2/3 von Anjas Budget. Wenn Clemens von Bernhard 2? bekäme, hätte Clemens 3/5 des Inhalts von Bernhards Geldbörse. Wenn Clemens Doris 3 ? leihen würde, dann hätte Doris 5/7 von Clemens Budget. Alle haben einen ganzzahligen Euro Betrag dabei. Welcher Betrag fehlt den 4 Freunden? Meine Ideen: Mein Ansatz wäre gewesen, dass die Beträge die verliehen wurden die Reste sind und die Nenner der Brüche die Modulozahlen sind, sprich 3 Gleichungen mit: (1):x kongruent 1 (mod 3) (2):x kongruent 2 (mod 5) (3):x kongruent 3 (mod 7) Stimmt der Ansatz überhaupt?, Bitte um Hilfe. Danke
02.05.2020, 14:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte aus dem Text erstmal Gleichungen für die Börseninhalte $\begin{eqnarray} a, b, c, d \end{eqnarray}$ aufgestellt: $\begin{eqnarray} b+1 = \frac{2}{3}(a-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c+2 = \frac{3}{5}(b-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d+3 = \frac{5}{7}(c-3) \end{eqnarray}$ Außerdem wissen wir, dass alle vier Werte ganze Zahlen <50 sind. (EDIT: Es scheint wohl eher so gemeint zu sein, dass mindestens einer der Werte <50 ist.)
02.05.2020, 14:38	timmy4	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe auch schon mal versucht Gleichungen aufzustellen, allerdings verstehe ich auch mit den 3 Gleichungen: b+1=2/3(a-1) c+2=3/5(b-2) d+3=5/7(c-3) nicht wie ich dann den chinesischen Restsatz anwenden soll ?
02.05.2020, 14:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann zunächst die Brüche entfernen und umstellen: $\begin{eqnarray} 2a - 3b = 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3b - 5c = 16 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5c - 7d = 36 \end{eqnarray}$ . Jetzt kann man etwa (1),(1)+(2),(1)+(2)+(3) betrachten, um überall $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ reinzukriegen $\begin{eqnarray} 2a - 3b = 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2a - 5c = 21 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2a - 7d = 57 \end{eqnarray}$ . Das bedeutet dann $\begin{eqnarray} 2a\equiv 5\equiv 2\bmod 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2a\equiv 21\equiv 1\bmod 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2a\equiv 57\equiv 1\bmod 7 \end{eqnarray}$ . Und das kann dann schon mit dem Chinesischen Restsatz beackert werden...
02.05.2020, 15:25	timmy4	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Hinweis, allerdings weiß ich noch nicht genau, ob ich den Restsatz anwenden darf weil: ? müssten die drei Gleichungen nicht die Form: x kongruent bi (mod mi) haben um den Satz zu verwenden. Gibt es eine mögliche Umformung, sodass die 2 vor dem a verschwindet. Wie muss dieser bei der Berechnung berücksichtigt werden ? Danke
02.05.2020, 15:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sowas kann man auch mal selber rausbekommen... Löse erst das System $\begin{eqnarray} x\equiv 2\bmod 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv 1\bmod 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv 1\bmod 7 \end{eqnarray}$ und mit der gefundenen Lösunge $\begin{eqnarray} x\bmod 105 \end{eqnarray}$ kannst du anschließend dann auch $\begin{eqnarray} 2a\equiv x\bmod 105 \end{eqnarray}$ auflösen.
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02.05.2020, 18:46	timmy4	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe das system aufgelöst und komme auf 71 mod 105. damit habe ich dann versucht die lineare kongruenz : 2a kongruent 71 mod 105. allerdings komme ich dann am Schluss wieder auf x kongruent 71 mod 105. Dann wären ja meine Lösungen: x = k*105 +71 also (71, 176, 281 etc.) Meine Frage ist jetzt ist x= 71 Euro richtig also mein Ergebnis? Endergebnis 200 -71 = 129 ?
02.05.2020, 18:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gute Nachricht: $\begin{eqnarray} x=2a\equiv 71\bmod 105 \end{eqnarray}$ ist richtig. Aber dann, oje... Die Lösung von $\begin{eqnarray} 2a\equiv 71\bmod 105 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a\equiv \frac{71+105}{2} = 88\bmod 105 \end{eqnarray}$ . Und damit rollt dann der Rest ab: $\begin{eqnarray} b=57,c=31,d=17 \end{eqnarray}$ .
02.05.2020, 20:33	timmy4	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab jetzt noch mal alles durchgerechnet - komm am Ende auf 7 Euro die den Freunden für die Karten fehlen. Danke für deine Hilfe (:

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