Banach'scher Fixpunktsatz, Picard-Lindelöf

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Phasma Auf diesen Beitrag antworten »
Banach'scher Fixpunktsatz, Picard-Lindelöf
Es seien ein metrischer Raum, und mit (1) (2) abgeschlossen (3) Kontraktion (4) vollständig. Dann besitzt genau einen Fixpunkt.

(a) Erklären Sie die in der Formulierung des Satzes auftretenden Voraussetzungen
(i) T ist Kontraktion
(ii) der metrische Raum ist vollständig.

(b) Beweisen Sie die Eindeutigkeit des Fixpunktes.

Es seien offen, und .
Im Folgenden betrachten wir das Anfangswertproblem

(c) Formulieren Sie die Picard-Lindelöf-Bedingung an , d.h. die Voraussetzungen an , unter denen mit dem Satz von Picard-Lindelöf auf die (lokale) Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung des Anfangswertproblems geschlossen werden kann.

(d) Erläutern Sie kurz, wie man die Existenz einer Lösung des Anfangswertproblems unter der Voraussetzung der Picard-Lindelöf-Bedingung aus dem Banachschen Fixpunktsatz schließen kann. Gehen Sie hierbei insbesondere darauf ein, wie das Anfangswertproblem in eine äquivalente Fixpunktgleichung umformuliert werden kann und warum die Picard-Lindelöf Bedingung den Nachweis der Kontraktionseigenschaft ermöglicht.


Meine Ideen:
Zu a) Dass Kontraktion ist, bedeutet, dass es eine Konstante gibt mit für alle .
Ein metrischer Raum ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in gegen ein Element in konvergiert.

b) ist auch klar, denn für zwei Fixpunkte und , also muss sein und damit .

c) muss stetig und lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen sein.

d) Hier habe ich keine Ahnung. Ich kann da leider gar keinen Zusammenhang herstellen. Dazu kommt, dass ich mir unter dem Satz von Picard-Lindelöf wenig vorstellen kann, also mir ist nicht klar, woher die Bedingung mit der Lipschitz-Stetigkeit kommt und wieso daraus lokale Eindeutigkeit folgt. Den Beweis habe ich schon angeschaut, aber leider ist er für mich (praktisch von Beginn an) sehr unklar/unverständlich. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen, die Zusammenhänge hier zu verstehen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

zu d) muss man sich ansehen, was andere dazu zu sagen haben: https://www.uni-due.de/imperia/md/conten...eren/picard.pdf (das sind nur 8 Seiten)

Wenn dir eine solche Aufgabe gestellt wird, steht der Satz und sein Beweis auch ganz sicher irgendwo in deinem Skript.
Phasma Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Link, das meiste habe ich dort verstanden. Manches aber auch nicht, z.B. auf Seite 5: Wie kommt man in der Skizze auf den trichterförmigen Bereich und auf die Rechnung darunter?
Die Umformungen/Abschätzungen mit dem Supremum kann ich größtenteils leider auch nicht nachvollziehen.

Im Kern geht es also darum, dass die Lösungen des Anfangswertproblems die Fixpunkte dieser Abbildung mit dem Integral sind. Die Eindeutigkeit folgt dann aus der Eindeutigkeit der Fixpunkte im Banachschen Fixpunktsatz. Um diesen anwenden zu können, muss die Abbildung eine Kontraktion sein, und dazu braucht man die Lipschitz-Stetigkeit.

Was bedeutet bei d) "Erläutern Sie kurz"? Das war eine Staatsexamensaufgabe von 2013. Den ganzen Beweis aus dem Link (mit den ganzen Abschätzungen mit der Supremumsnorm etc.) würde ich selbst nicht auf Abruf hinbekommen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wer macht die Prüfungsaufgaben ? Darf man davon ausgehen, dass Wissen abgefragt wird, das auch irgendwann im Studium gelehrt wurde ? Wenn dem nicht so ist, weiß ich nicht, wie man eine solche Prüfung bestehen kann. (Immerhin hast du a) bis c) beantwortet, d) ist "nur ein Viertel". Augenzwinkern )

Ohne Bücher, Skripte oder Internet würde ich auch nicht alles hinbekommen. Bei mündlichen Prüfungen hat man immer die Chance, den Prüfern das zu erzählen, was man weiß, das finde ich sehr viel fairer als schriftliche Prüfungen, bei denen Schwächen genau so auffallen wie Stärken.
Phasma Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, "Wissen" in dem Sinne wird ja eher selten abgefragt.
Von den Inhalten her, kommen natürlich viele dran, die im Studium gelehrt wurden (wenn auch z.T. nur am Rande), aber ich stoße oft auch auf solche, von denen ich noch nie gehört habe (z.B. neulich der Satz von Rouche, oder hier eben der Beweis mit dem Banachschen Fixpunktsatz). Leider gibt es keine Übersicht, welche Themen genau abgefragt werden, deshalb gehe ich die alten Aufgaben durch.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgaben bearbeiten, die in früheren Prüfungen gestellt wurden, ist eine gute Idee. Man lernt auf jeden Fall etwas dazu.
Was sagt die Prüfungsordnung zu Umfang und Inhalt ? Die Kenntnis der Prüfungsordnung ist unabhängig davon immer nützlich, weil Unkenntnis sträflich leichtsinnig ist.
Was sagen Kommilitonen, die sich auch auf die Prüfung vorbereiten ? Kann man die Professoren in der Sprechstunde fragen ?
 
 
Phasma Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgaben werden zentral für ganz Bayern gestellt. Die Prüfungsordnung sagt zu den Fachwissenschaft-Mathematik-Prüfungen:

Fachwissenschaftliche Kenntnisse aus
a) Analysis (reelle Analysis einschließlich gewöhnlicher Differentialgleichungen, Funktionentheorie),
b) Lineare Algebra, Algebra und Elemente der Zahlentheorie.

Schriftliche Prüfung
1.Eine Aufgabengruppe aus der Analysis
(Bearbeitungszeit: 4 Stunden);
drei Aufgabengruppen werden zur Wahl gestellt;
2.eine Aufgabengruppe aus Lineare Algebra, Algebra und Elemente der Zahlentheorie
(Bearbeitungszeit: 4 Stunden);
drei Aufgabengruppen werden zur Wahl gestellt.

Das ist halt leider nicht sehr spezifisch. Klar hat man auch Kontakt zu Kommilitonen, auch Dozenten. Das hilft auch!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mehr kann man nicht tun. Mach einfach weiter und bleibe zuversichtlich.
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