Funktionen Differentialgleichung

03.05.2020, 16:12	Sky33	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen Differentialgleichung Hey , weiss jemand was ich hier genau bei der Aufgabe machen muss ? Uns wurde bisher kaum was erklärt und brauche Hilfe
03.05.2020, 16:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst ableiten können, und dann noch wissen, dass der Laplace-Operator im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ gemäß $\begin{eqnarray} \Delta u := u_{xx}+u_{yy} \end{eqnarray}$ definiert ist. Dann solltest du eigentlich loslegen können...
03.05.2020, 18:10	Sky33	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ux = ncos(nx)sin(ny)<br /> uxx = n^2-sin(nx) sin(ny)<br /> <br /> uy = sin(nx)ncos(ny)<br /> <br /> uyy= sin(nx)n^2-sin(ny)<br /> <br /> delta u = n^2-sin(nx) sin(ny)+ sin(nx)n^2-sin(ny) \end{eqnarray}$ Das ist es ?
03.05.2020, 18:47	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenfassen und ersetzen wäre nicht verkehrt. Die zu zeigende Gleichung steht ja noch nicht ganz da.
03.05.2020, 19:50	Sky33	Auf diesen Beitrag antworten »
In meiner Musterlösung steht das ? Das ist die uxx ableitung und die uyy Ableitung ? Was muss ich genau machen ?
03.05.2020, 20:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray} -\Delta u = 2n²u \end{eqnarray}$ und hast bisher die folgende Gleichung erhalten: $\begin{eqnarray} \Delta u = n^2 \cdot (-sin(nx)) \cdot sin(ny)+ sin(nx) \cdot n^2(-sin(ny)) \end{eqnarray}$ Ich sehe rechts weder ein u, noch den Faktor 2. Du bist also noch nicht ganz fertiig. Schreib den Term doch einmal unter Benutzung der Funktion u hin, dann sollte der letzte Schritt eigentlich ins Auge fallen (Sofern er es jetzt noch nicht ist).
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03.05.2020, 20:22	Sky33	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2 u = \cdot (-sin(nx)) \cdot sin(ny)+ sin(nx) \cdot(-sin(ny)) \end{eqnarray}$ Jetzt wie weiter ?
03.05.2020, 20:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht reden wir aneinander vorbei, aber ich meinte eigentlich $\begin{eqnarray} \Delta u = n^2 \cdot (-sin(nx)) \cdot sin(ny)+ sin(nx) \cdot n^2(-sin(ny)) = -n^2 u - n^2 u = -2n^2u \end{eqnarray}$
03.05.2020, 20:34	Sky33	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm bisschen verwirrt ? Soll ich da was weg kürzen ? Ich dachte das ich für Delta u =-2n^2 u einsetze und dann links das n^2 weg kürze ?
05.05.2020, 22:25	Sky33	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch da?
05.05.2020, 22:32	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber keine Idee, was ich Dir noch sagen soll. Eine Gleichung wird am elegantesten bewiesen, indem man auf der linken Seit anfängt und den Term schrittweise verändert, bis man auf der rechten Seite rauskommt. Das ist der Weg, den ich oben hingeschrieben habe und von dem ich dachte, dass Du ihn auch gehen wolltest. Wieso Du die zu zeigende Gleichung nun durch Einsetzen und kürzen (vermutlich mittels Äquivalenzen) beweisen willst, kann ich nicht nachvollziehen. Mein Hinweis "Zusammenfasen und ersetzen" bezog sich auf das Ersetzen des Funktionsterms durch u und das Zusammenfassen der gleichen Summanden. Mehr ist hier nicht erforderlich und ich denke nicht, dass es einen einfacheren oder kürzeren Weg gibt. Selbst die von Dir zitierte Musterlösung verweist nur auf die Gleichheit der zweiten Ableitungen in x bzw. y-Richtung, um sie anschließend zusammenzufassen.

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