Integrationsgrenzen bei Rotation um y-Achse

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V342 Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsgrenzen bei Rotation um y-Achse
Hallo,

Manchmal stellt man zu und zu um. Wann genau muss man das und wann nicht?
Ich dachte bis jetzt immer, wenn man um die -Achse rotiert braucht man einen -Intervall und bei der -Achse einen -Intervall?

Einmal zur Verdeutlichung meiner Frage zwei Buchaufgaben:

1)Bestimmen Sie das Volumen eines Körpers zwischen und , der durch Rotation der Parabel auf der -Achse entsteht.
Lösung:
\
Warum muss man hier nicht von zu umrechnen? In der Lösung rotiert man um die -Achse, es wird aber trotzdem der gegebene -Intervall verwendet.



2) Rotation um die y-Achse:


Lösung:

Warum nimmt man jetzt einen -Intervall UND trotzdem die Umkehrfunktion? Woher weiß ich denn jetzt, dass ich das so machen muss?

In der vorherigen Aufgabe haben die doch einfach mit der Umkehrfunktion um die x-Achse rotiert, warum geht das bei Aufgabe 2) nicht? Der gegebene Intervall ist doch auch noch ein -Intervall so wie ich das verstehe.

Ich hätte das jetzt nach Aufgabe 1) für Aufgabe 2) so interpretiert, denn da war der Intervall ja egal:

Das wäre meine Lösung zu 2) gewesen, die falsch ist, aber ich weiß nicht warum, weil ich eine x-Roation in einem x-Intervall durchführe mit der Umkehrfunktion der Funktion, die um die y-Achse rotiert werden soll. Das ist für mich irgendwie logisch.


Ich verstehe nicht woran man fest macht ob man mit dem gegebenen Intervall rechnen kann oder nicht...unglücklich

Danke für Eure Mühen.

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationsgrenzen bei Rotation um y-Achse
Bei der ersten Aufgabe hast du ein Intervall auf der -Achse, weshalb du die Umkehrfunktion von benutzt. Der Grund, warum du die Grenzen nicht änderst, ist, weil du sie nicht ändern musst. Du hast die -Werte schon gegeben.
Angenommen, du müsstest das Volumen eines Körpers zwischen und ausrechnen, müsstest du das noch umrechnen.
Bei der zweiten Aufgabe hast du kein Intervall auf der -Achse gegeben. Du hast ein Intervall aus dem Definitionsbereich, also -Werte.

~ Tangentialvektor
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

sinnvoll oder nicht sinnvoll umgeformt, wichtig ist, dass am Schluss alle Bezeichner gleich und alle Konstanten sich auf diesen beziehen und gebe die Grenzen immer mit diesem Bezeichner an.
V342 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationsgrenzen bei Rotation um y-Achse
Zitat:
Original von Tangentialvektor
Bei der ersten Aufgabe hast du ein Intervall auf der -Achse, weshalb du die Umkehrfunktion von benutzt. Der Grund, warum du die Grenzen nicht änderst, ist, weil du sie nicht ändern musst. Du hast die -Werte schon gegeben.
(...)
Bei der zweiten Aufgabe hast du kein Intervall auf der -Achse gegeben. Du hast ein Intervall aus dem Definitionsbereich, also -Werte.

~ Tangentialvektor


d.h. ich muss, wenn ich etwas um die -Achse rotieren will immer -Werte benutzen, unabhängig ob (Aufgabe 1) (Aufgabe 2) genutzt wird?
Das ist ja sehr verwirrend, weil letztendlich rotiert man ja bei 1) zur Lösung um die x-Achse und nicht wie in der Aufgabenstellung vorgegeben um die y-Achse. Was die genaue Definiton der Aufgabe ja etwas verschwimmen lässt...
V342 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationsgrenzen bei Rotation um y-Achse
Zitat:
Original von Tangentialvektor
Bei der ersten Aufgabe hast du ein Intervall auf der -Achse, weshalb du die Umkehrfunktion von benutzt.
~ Tangentialvektor


Sorry für den Doppelpost, muss mich mal registrieren. :S
Ich dachte man benutzt immer nur die Umkehrfunktion wenn die Funktion nicht auf der Achse liegt, um die man rotieren will. Und wenn ich doch y-Werte habe warum macht es dann Sinn, die Parabel mit Hilfe der Umkehrfunktion auf die x-Achse zu drehen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bestimmen Sie das Volumen eines Körpers zwischen und , der durch Rotation der Parabel auf der -Achse entsteht.

Formel:


wie gesagt ist jetzt eine Mischung von x und y vorhanden. Je nach dem kannst du jetzt alles auf y oder auf x beziehen.

1.) nehmen wir mal y. Dann muss x^2 noch in y umgerechnet werden. kein Problem da gilt. Fertig.

2.) Wenn du alles in x rechnen willst, dann sind die Grenzen und das dy umzurechnen.





auch wenn jetzt alles in x ausgedrückt ist bleibt es nach wie vor das gleiche Volumen und dieselbe Rotation !

Fazit: 1.) ist einfacher.
 
 
V342 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap

wie gesagt ist jetzt eine Mischung von x und y vorhanden. Je nach dem kannst du jetzt alles auf y oder auf x beziehen.



Das ist ja das was ich gerade nicht verstehe unglücklich In der Lösung im Buch mischen die alles wild. Da ist als Lösung

angegeben. und das ist doch alles wild gemischt...

Ist es vielleicht so, dass man

1. Wenn etwas um die y-Axe rotiert werden soll und man den x-Intervall gegeben hat schreibt:

2. Wenn etwas um die y-Axe rotiert werden soll und man den y-Intervall gegeben hat schreibt:

3. Wenn etwas um die x-Axe rotiert werden soll und man den x-Intervall gegeben hat schreibt:

4. Wenn etwas um die x-Axe rotiert werden soll und man den y-Intervall gegeben hat schreibt:


Und somit immer die Umkehrfunktion verwendet ohne die Intervalle umzustellen? :S Das würde diese Lösungen erklären.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von V342
Das ist ja das was ich gerade nicht verstehe unglücklich In der Lösung im Buch mischen die alles wild.

Leider weiß man nicht, was Du alles so gemischt hast. Vielleicht solltest Du mal die Abschnitte, die Dich verwirren, einscannen und hier einstellen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

so ist das eben leider wenn man für alles und jedes eine Formel aufstellt, die dann blindlings anzuwenden ist.
Mit Lernen hat das nichts zu tun.

Man kann sich leicht vertippen deshalb - wie schon empfohlen -

ein Original schicken!

P.S. ist das Buch ein Offizielles oder so ein hingeschludertes Hilfsbuch? ich habe da schon alles erlebt unglücklich
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

@V342:

Ich versuchs noch mal anders zu erklären:

Diese Formel V = Pi * ...
gilt immer und nur für die x-Achse und Rotationen darum!

Willst du also um die y-Achse rotieren, musst du die Funktion erst so transformieren, dass sie wieder um die x-Achse rotiert. Das machst du indem du die Umkehrfunktion bildest. Die Grenzen sind immer x-Werte.
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