Gödels Sätze auf den Punkt gebracht |
| 03.05.2020, 20:12 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Gödels Sätze auf den Punkt gebracht First Incompleteness Theorem We assume a consistent formal system S where we can syntactically correct formulate the following statement G: G <-> ~Proof(G). There are two cases within S: (1) G is provable, but then G is not provable (~Proof(G)) which is a contradiction and therefore impossible, (2) ~G is provable which means (~G & Proof(G)) v (G & ~Proof(G)), but that means in either case G will be proven which is a contradiction and therefore impossible. So our (consistent) system S cannot prove G or ~G and is therefore incomplete (or it could prove G or ~G if it was inconsistent for trivial reasons). Within S we can't decide if G or ~G is true, but of course from a meta-view we know that G is true. Gödel's "only" accomplishment was to show that G can be formulated syntactically correct in a special S called PM and therefore "infects" whole math (and yes, that was genius). Second Incompleteness Theorem Let's assume our system S again, this time strong enough to prove its First Incompleteness Theorem, i.e. if S is consistent then G which says G <-> ~Proof(G). Let's assume we could prove the consistency of S in S. Then by mp we could prove in S that G which is impossible due to the First Incompleteness Theorem, therefore the assumption must be false. |
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| 03.05.2020, 21:52 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gödels Unvollständigkeitssaetze sind keine Vermutungen sondern Theoreme. Ergo können die Sätze weder mit "We assume..." noch mit "Let's assume..." anfangen. Deine Formulierungen geben weder die Sätze noch ihre Beweise auch nur ansatzweise wieder. |
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| 03.05.2020, 22:15 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich zeichne die Beweise grob nach und natürlich werden da gewisse Annahmen gemacht, zB die Konsistenz des Systems, wobei ich da eben zur besseren Verständlichkeit oberflächlich bleibe und zB die Omega-Konsistenz nicht thematisiere. Es geht mir nicht um die Sätze selbst - die sind einach auf den Punkt gebracht - sondern um das dorthin-kommen. |
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| 03.05.2020, 22:37 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Idee könnte vielleicht funktionieren, wenn Beweisbarkeit rekursiv wäre. Der erste Unvollständigkeitssatz beweist, dass dem nicht so ist. In seiner Arbeit formuliert Gödel spaßig "Bew(x) ist der einzige unter den Begriffen [...] von dem nicht behauptet werden kann, er sei rekursiv." Es ist zweifellos schwierig, Gödel selbst zu verstehen. Wem das auch bei bestmöglichen Absichten, großem Fleiß und nach langer Zeit nicht gelingt, für den bieten sich Alternativen. Im 20. Jahrhundert wurde die Beweistheorie und die Theorie der Berechenbarkeit wesentlich ausgebaut und die Theorie der Turingmaschinen entwickelt. Auf Grundlage dieser Theorien gibt es leichtere und schnellere Wege, die Gödelschen Unvollständigkeitssätze zu beweisen. Dies schmälert keineswegs Gödels Verdienste, und es bleibt weiter historisch und inhaltlich interessant, das Original zu studieren. Man darf nicht darauf hereinfallen, dass Gödel zwecks Motivation eine Analogie zu dem Lügner-Paradoxon erwähnt hat bevor sein Beweis zur Sache kommt. Das hat er nur gemacht, damit seine Arbeit nicht nur von John von Neumann, David Hilbert und Albert Einstein gelesen wurde und verstanden werden konnte. Gödel war ein großer Logiker aber ein miserabler Motivator, seine Unvollständigkeitssätze haben mit Paradoxa nicht das Geringste zu tun. Leider sieht man diese verfehlte Analogie immer wieder bei Versuchen, Gödel zu erklären, du bist also in guter Gesellschaft, aber das macht es nicht besser. |
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| 06.05.2020, 19:38 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt habe ich den Fehler lokalisiert: Die Aussage "G <-> ~Proof(G)" muss im System nicht nur formulierbar, sondern beweisbar sein (was sie ist, siehe Diagonalisierungslemma), also S |- G <-> ~Proof(G). Dann wird schnell einsichtig, dass weder G noch ~G beweisbar sein können: ein Beweis (Proof) von G würde sofort zu ~Proof(G) und damit einem Widerspruch führen; ein Beweis von ~G würde wg. der Aussage "G <-> ~Proof(G)" zu Proof(G) führen, damit wäre G bewiesen und damit doch wieder ~Proof(G), Widerspruch. Gödel hat hier vor allem das Verdienst, die Argumentation komplett mit Arithmetik (IN, +, *) modelliert zu haben, wodurch er zeigen konnte, dass schon diese Arithmetik (und alles Mächtigere erst recht) nicht vollständig sein kann (wenn sie konsistent sein will). Das ist der erste Unvollständigkeitssatz. Beim Zweiten Theorem glaube ich aber noch, dass ich es richtig verstanden habe. Das System muss stark genug sein, um den ersten Unvollständigkeitssatz (und damit auch G <-> ~Proof(G)) zu beweisen, also: S |- S-konsistent -> ~Proof(G). Könnte man jetzt im System die Konsistenz beweisen, so würde man per mp ~Proof(G) beweisen, was dann wg. G <-> ~Proof(G) die Aussage G bewiese, was aber sofort wieder in einen Widersprüch führte, wie man bereits im ersten Unvollständigkeitssatz beweisen konnte. Vielleicht kann ja doch nochmal einer drüberschauen, ob das so passt, ich will nicht aufgeben, bis ich die Herleitung der Sätze wenigstens grob richtig verstehe. |
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| 06.05.2020, 19:59 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte erläutere, was du unter "G <-> ~Proof(G)" verstehst. Warum steht das in Anführungszeichen ? Ist G eine Aussage oder eine Gödelnummer ? Eine Gödelnummer kann es nicht sein, weil sonst <-> nicht erklärt ist. Eine Aussage kann es nicht sein, weil sonst Proof(G) nicht erklärt ist. Ich verstehe es nicht. Nachtrag. Hätte G<->¬Proof(G) eine Bedeutung, so wäre diese ein Paradoxon. Da Gödel nicht ein Paradoxon formuliert sondern einen Satz bewiesen hat, besteht keine relevante Beziehung zwischen G<->¬Proof(G) und Gödels Theorem. |
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| 06.05.2020, 23:30 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist die Aussage, die Gödel aus dem Diagonalisierungslemma herleitet. G ist eine Aussage, genau wie ~Proof(G), wobei (G) die Gödelnummer von G wäre. Hier (dort unter 2.5.) findet man die Erläuterung dazu. Die genauen technischen Details kenne ich nicht, ich will nur grob den Beweis nachvollziehen und da reicht es mir erstmal, wenn Gödel o.g. Aussage aus dem Kalkül PA bzw. damals PM herleitet und danach zeigt, dass mit dieser Herleitung weder G noch ~G beweisbar sein können. Das kann ich gut nachvollziehen. Siehst du denn Fehler, wenn du nurmal annahmeweise meinen Beitrag hernimmst, also maW: Unter der Annahme, ein System beweise G <-> ~Proof(G), kann man daraus folgern, dass weder G noch ~G beweisbar sein können, wenn wir mal von der Konsistenz des Systems ausgehen und kann man davon ausgehen, dass dann so ein System seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann? Ich für meinen Teil komme in diesem Fall zu diesen Ergebnissen.... |
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| 07.05.2020, 06:30 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine falschen Einlassungen werden auch durch Wiederholung oder Verweis auf ähnliche Darstellungen nicht richtig. Die Stanforder Darstellung ist etwas vereinfacht das, worüber man sich eventuell einigen könnte wenn man alle Details studieren möchte, auf die diese Darstellung verweist. Das ist dir und mir zu mühsam, weil wir dann letztlich doch wieder den kompletten Gödel-Beweis vor uns haben. Stanford weist kurz vor 2.5 darauf hin, dass die Interpretation in heuristischer Sprache manchmal das ungenaue Wort "selbstreferentiell" enthält, was zu vielen Missverständnisssen führt. Darüber hinaus hast du von Stanford viel zu kurz und grob falsch abgeschrieben. Was du falsch gemacht hast, habe ich in meinem letzten Beitrag schon explizit besprochen. Übrigens ist in der Stanforder Darstellung mit <-> keinesfalls eine Aequivalenz von Aussagen gemeint, was ja unmöglich ist. Deine Interpretation des Diagonalisierungslemma geht also auch deswegen schief, weil du aus der Korrespondenz unterschiedlicher Objekte eine Aequivalenz von Aussagen gemacht hast. |
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| 07.05.2020, 07:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Gödel mit seinen trockenen Nummern ... In Hilberts Hotel wird ja auch vorbildlich nummeriert. Warum bucht ihr nicht dort? Da hat man zumindest ein angenehmes Ambiente: Wenn morgens der Nebel aus den unendlichen Tälern aufsteigt und sich abends der Blick nach oben zu den ineinander verschachtelten Universen weitet - herrlich. Kein Aldi-Reiseprospekt bietet Schöneres. Gut, ich kann nicht aus eigener Erfahrung sprechen und kenne auch niemanden, der je bei Hilbert-Infinitravel gebucht hat, persönlich. Ich weiß das nur vom Hörensagen. Es soll wohl ein ziemlich strenges Reglement herrschen. Es kann einem schon passieren, daß man sich gerade unter die Dusche gestellt hat und die ersten Strahlen einer feinen Cantorwolke diskontinuierlich auf einen herabrieseln und der Portier kommt und einen zwar freundlich, aber auch sehr bestimmt, bittet, umzuziehen. In den ersten Tagen geht es noch einigermaßen gemächlich zu, wird aber im Laufe der Zeit immer hektischer. In immer kürzeren Zeiten muß man beim Umziehen immer längere Wege zurücklegen, bis die Verweildauer im eigenen Zimmer das Maß Null besitzt, wenn sie auch nie leer wird. Das ist nach den Richtlinien der Hotelkette garantiert. Ein gewisses Maß an Sportlichkeit sollte man aber schon an den Tag legen. Für ältere Herren ... hm. Ich glaube, es ist doch besser, wenn ihr bei Gödel-Einfachreisen bleibt. Angebot dürftig, Service miserabel, aber man hat zumindest eine gewisse Überlebenschance. |
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| 07.05.2020, 08:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Als Gödel-Interpret, Gödel-Bewunderer, Gödel-Verdreher oder Gödel-Versteher muss man immer gut auf seine Ernährung achten, damit man nicht verhungert wie der heilige Kurt. Den Hinweis auf den heiligen David nehme ich daher gerne auf, denn in unendlichen Hotels gibt es bestimmt auch unendlich viel zu essen und zu trinken. Gesunde Kost, frisch aus der Region, aber kann man sicher sein, dass kein Gift darin ist? |
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| 07.05.2020, 08:31 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gleich unten am Hotel liegt der Borel-Garten. Da ist schon mancher hineingeraten und nicht mehr zurückgekehrt. Es stehen aber auch überall Warnschilder: "Betreten auf eigene Gefahr! Hilbert-Inifinitravel kann keine Verantwortung übernehmen!" Inwieweit das mit EU-Recht vereinbar ist, ist umstritten. Aber wie alle transnationalen Unternehmen lässt sich Hilbert-Infinitravel nicht so richtig fassen. Die neueste Vorlage von Finanzminister Scholz und Reiseminister Maas ist schon wieder auf Eis gelegt. Man will sich wohl erst noch mit den Partnern abstimmen. Und das dauert mindestens so lange wie das lineare Abschreiten eines Gangs im Hilbert-Hotel. Im Eingangsbereich ist der Borel-Garten noch überschaubar. Ordentlich gepflegte Wege, schön intervallweise, fast schon peinlich akkurat angelegte Blumenbeete, Kräuter, Obst, ein Wunder der Natur. Dann wird es aber immer dichter, die Intervalle schneiden sich, und nicht nur eines oder zwei, sondern unendlich viele, giftige Lianen fallen von oben herab, Gestrüpp rankt sich um die Fußknöchel. Wer nicht spätestens da umkehrt, wo steht: "Hier verlassen Sie den abzählbaren Bereich!", hat nur noch eine Chance vom Maß 0, wieder zurückzukehren. Unmöglich ist es aber nicht. Wie gesagt: Hilbert-Inifintravel übernimmt keine Verantworung. |
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