Würfel ziehen und n-mal würfeln

03.05.2020, 20:56

_jonas

Würfel ziehen und n-mal würfeln

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgendes Problem:

in einer Schachtel sind drei Würfel: W_1, W_2 und W_3. W_1: fairer Würfel, W_2: Wahrsch. eine 4 oder 2 zu würfeln ist jeweils 1/2, W_3: würfelt immer 4.

Es wird n-mal gewürfelt. Wie Wahrscheinlich ist es, dass jedes mal eine 4 fällt (also n mal eine 4).

Meine Ideen:
Bieher habe ich mir folgendes überlegt:
P(W_1 ziehen und n*4 würfeln): 1/3 * (1/6)^n
P(W_2 ziehen und n*4 würfeln): 1/3 * (1/2)^n
P(W_3 ziehen und n*4 würfeln): 1/3 * 1^n

Ich denke, dass da jetzt irgendwas mit bedingten Wahrsch. kommen muss, aber ich weiß nicht so genau wie das funktionieren soll.

03.05.2020, 21:02

HAL 9000

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RE: Würfel ziehen und n-mal würfeln

Zitat:

Original von _jonas
Es wird n-mal gewürfelt.

Stop ... und etwas genauer beschreiben! Heißt das

a) Es wird ein Würfel ausgesucht, und der dann $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -mal geworfen.

oder

b) Es wird bei jedem der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfe der Würfel immer neu ausgewählt (d.h. mit Zurücklegen).

Geht aus deiner Beschreibung nicht hervor, welche Variante hier gespielt wird. unglücklich

03.05.2020, 21:10

_jonas

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Hallo HAL 9000,

Ich merke, dass ich da einiges vergessen habe.

Aus der Box wird ein Würfel zufällig ausgewählt/gezogen (p = 1/3) und mit diesem Anschließend n-mal gewürfelt.

04.05.2020, 07:37

HAL 9000

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Gesucht ist hier die totale Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(B) = \sum_{k=1}^3 P(A_k)\cdot P(B\mid A_k) \end{eqnarray*}$ für die Ereignisse

$\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ... es wird Würfel $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ ausgewählt (k=1,2,3)

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfen fällt jedesmal "4"

Wie es aussieht, hast du ja das meiste davon schon beisammen - du musst es nur erkennen und dann noch den letzten Schritt gehen.

04.05.2020, 08:24

_jonas

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Also im Prinzip muss ich da jetzt nur einsetzen:

$\begin{eqnarray*} P(A_k) = 1/3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k = 1,2,3 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} P(B|A_k) \end{eqnarray*}$ ist jeweils das was ich schon habe?

oder muss ich das noch gemäß $\begin{eqnarray*} P(B|A_k) = \frac{P(B \cap A_k)} {P(A_k)} \end{eqnarray*}$ jeweils durch 1/3 teilen?

und wieso ist das jetzt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man n mal die 4 würfelt? Wo ist da das n abgeblieben? Ich hätte mehr so eine Lösung der Form $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ erwartet.

04.05.2020, 10:01

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} P(B\mid A_k) \end{eqnarray*}$ ist wie Wahrscheinlichkeit, dass in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfen unter Verwendung des Würfels $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ jedesmal 4 fällt. Und was da rauskommt, hast du doch schon aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} P(B\mid A_1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n,\quad P(B\mid A_1) = \left(\frac{1}{2}\right)^n,\quad P(B\mid A_3) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Da ist doch das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ "drin". Wenn es dir so besser gefällt, kannst du es natürlich in die Ereignisbezeichnung aufnehmen, d.h. von $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sprechen. Da wir hier nun aber nicht mit mehreren solchen Ereignissen bei unterschiedlichen Wurfzahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in ein- und derselben Formel hantieren, habe ich das der Schreibfaulheit wegen weggelassen. Augenzwinkern

04.05.2020, 12:57

_jonas

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Also ist es eigentlich ziemlich simpel mit

$\begin{eqnarray*} P(B) = \frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{6}\right)^n+\left(\frac{1}{2}\right)^n+1\right] \end{eqnarray*}$

beantwortet?

04.05.2020, 15:33

HAL 9000

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Ja. Irgendwie riecht das ganze ja sowieso nur nach der ersten Teilaufgabe - die zweite ist dann:

Es wird n-mal gewürfelt, und als Ergebnis erscheinen nur Vieren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde Würfel 3 ausgewählt?

oder

In einer längeren Wurfreihe wird beobachtet, dass nur Vieren erscheinen. Wie lange muss man (bei dieser anhaltenden Beobachtung) würfeln, dass man sich zu mindestens 99% sicher sein kann, dass es Würfel 3 ist?

Oder so ähnlich...

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