Regelmäßiges Zehneck mit gegebenem Radius und Seitenlänge konstruieren

04.05.2020, 05:16

Lea1996

Regelmäßiges Zehneck mit gegebenem Radius und Seitenlänge konstruieren

Meine Frage:
Hallo,

es geht darum ein regelmäßiges Zehneck zu konstruieren. Der Radius ist gegeben und man soll den Satz des Pythagoras sowie die zuvor bewiesene Formel für die Seitenlänge verwenden.

Meine Ideen:
Ich weiß natürlich wie man ein r. Zehneck in einem Kreis konstruiert aber ich habe null Ahnung wie ich eines konstruieren soll speziell unter Verwendung der oben genannten Vorgaben. Hat jemand dazu vielleicht einen Tipp für mich?

Grüße,

lea

04.05.2020, 08:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lea1996
Ich weiß natürlich wie man ein r. Zehneck in einem Kreis konstruiert

Dann nimm doch einfach diese Konstruktion, und stelle die Verbindung her: D.h. weise nach, dass diese deine Konstruktion zu eben jener Seitenlängenformel passt.

04.05.2020, 08:32

Huggy

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RE: Regelmäßiges Zehneck mit gegebenem Radius und Seitenlänge konstruieren

Zitat:

Original von Lea1996
Ich weiß natürlich wie man ein r. Zehneck in einem Kreis konstruiert

Wenn du eine Konstruktion kennst, dann erfüllt doch diese Konstruktion die Beziehung zwischen Seitenlänge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und Umkreisradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Der Satz des Pythagoras wird sicher auch irgendwo in der Konstruktion enthalten sein.

Zitat:

aber ich habe null Ahnung wie ich eines konstruieren soll speziell unter Verwendung der oben genannten Vorgaben. Hat jemand dazu vielleicht einen Tipp für mich?

Aus der Beziehung

$\begin{eqnarray*} r=\frac {1+\sqrt 5} 2 a \end{eqnarray*}$

lässt sich leicht eine Konstruktion basteln. Man schreibt sie z. B. in der Form

$\begin{eqnarray*} \frac r a = \frac {(1+\sqrt 5)r} {2r} \end{eqnarray*}$

Hat man die Strecken $\begin{eqnarray*} r, 2r, (1+\sqrt 5)r \end{eqnarray*}$ , kann man daraus mittels Strahlensatz $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konstruieren. Die Strecke $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ r bekommt man leicht mit dem Pythagoras. Das ist sicher nicht sehr elegant, erfüllt aber auch die Aufgabe.

04.05.2020, 08:58

Leopold

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Auch wenn schon zwei geantwortet haben, will ich meine Beschreibung, die ich in der Zwischenzeit fertiggestellt habe, hier hereinstellen, damit meine Arbeit nicht umsonst war.

Die Aufgabe ist lösbar, wenn du etwas über den Goldenen Schnitt weißt. Da ich nicht weiß, wie ihr das eingeführt habt, nenne ich jetzt einmal meine Variante.

1. Wir betrachten ein Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ mit 72°-Winkeln bei $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} B \end{align*}$ und einem 36°-Winkel bei $\begin{align*} C \end{align*}$ . Daß 36° gerade die Hälfte von 72° sind, ist für die Beweisführung wichtig. Zeichne zunächst einmal ein solches Dreieck (hier noch mit dem Winkelmesser). Die Länge der Basis wird mit $\begin{align*} c \end{align*}$ , die Länge der Schenkel mit $\begin{align*} a \end{align*}$ bezeichnet.

2. Der Kreis um $\begin{align*} B \end{align*}$ durch $\begin{align*} A \end{align*}$ schneidet die Strecke $\begin{align*} AC \end{align*}$ in einem Punkt $\begin{align*} D \end{align*}$ . Zeichne $\begin{align*} D \end{align*}$ ein und ergänze die Figur durch die Strecke $\begin{align*} DB \end{align*}$ . Die hat natürlich auch die Länge $\begin{align*} c \end{align*}$ , so daß $\begin{align*} DAB \end{align*}$ gleichschenklig ist und dieselben Winkel wie $\begin{align*} ABC \end{align*}$ besitzt. Kurzum: $\begin{align*} DAB \end{align*}$ und $\begin{align*} ABC \end{align*}$ sind ähnlich zueinander.

3. Rechne nun ganz elementar die Winkel des Restdreiecks $\begin{align*} BCD \end{align*}$ aus. Du wirst feststellen, daß auch dieses gleichschenklig ist, womit auch $\begin{align*} DC \end{align*}$ die Länge $\begin{align*} c \end{align*}$ besitzt.

4. Damit besitzt die Strecke $\begin{align*} AD \end{align*}$ die Länge $\begin{align*} a-c \end{align*}$ . Die ähnlichen gleichschenkligen Dreiecke $\begin{align*} ABC \end{align*}$ und $\begin{align*} DAB \end{align*}$ müssen dasselbe Verhältnis von Basis zu Streckenlänge besitzen. Das führt auf die entscheidende Gleichung

$\begin{align*} \frac{a-c}{c} = \frac{c}{a} \end{align*}$

Mit den Nennern durchmultipliziert und ausmultipliziert erhältst du

$\begin{align*} a^2 - ac = c^2 \end{align*}$

Die Idee ist nun, diese Gleichung auf Pythagoras-Form zu bringen. Der uralte babylonische Trick der quadratischen Ergänzung hilft. Auf beiden Seiten wird $\begin{align*} \left( \frac{1}{2} c \right)^2 \end{align*}$ addiert, damit links eine binomische Formel entsteht.

$\begin{align*} a^2 - ac + \left( \frac{1}{2} c \right)^2 = c^2 + \left( \frac{1}{2} c \right)^2 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(*)} \ \ \left( a - \frac{1}{2} c \right)^2 = c^2 + \left( \frac{1}{2} c \right)^2 \end{align*}$

Die letzte Gleichung ist der Schlüssel der Konstruktion. Vielleicht habt ihr sie schon irgendwo hergeleitet. Dann brauchst du die Herleitung oben nicht noch einmal zu machen.

Jetzt soll ein 72°-72°-36°-Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ ohne Winkelmesser konstruiert werden. (Genau diese Winkel brauchst du ja für dein Zehneck.)

A) Zeichne waagerecht eine Strecke $\begin{align*} AB \end{align*}$ der Länge $\begin{align*} c \end{align*}$ (beliebig) und halbiere diese mit Zirkel und Lineal.

B) Konstruiere bei $\begin{align*} B \end{align*}$ mit Zirkel und Lineal nach unten einen rechten Winkel zur Strecke $\begin{align*} AB \end{align*}$ . Trage auf dem Schenkel des Winkels die Strecke $\begin{align*} \frac{1}{2} c \end{align*}$ mit dem Zirkel ab. Der Endpunkt dieser Strecke heiße $\begin{align*} E \end{align*}$ . Zeichne die Halbgerade $\begin{align*} AE \end{align*}$ .

$\begin{align*} AEB \end{align*}$ ist ein rechtwinkliges Dreieck mit $\begin{align*} c \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{1}{2} c \end{align*}$ als Katheten. Jetzt schau dir die Gleichung $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ noch einmal an. Die Länge der Strecke $\begin{align*} AE \end{align*}$ spielt jetzt bei Pythagoras die Rolle von $\begin{align*} a - \frac{1}{2} c \end{align*}$ . Du mußt also $\begin{align*} AE \end{align*}$ noch um $\begin{align*} \frac{1}{2} c \end{align*}$ verlängern, dann bekommst du $\begin{align*} a \end{align*}$ .

C) Verlängere die Strecke $\begin{align*} AE \end{align*}$ über $\begin{align*} E \end{align*}$ hinaus um $\begin{align*} \frac{1}{2} c \end{align*}$ bis zum Punkt $\begin{align*} F \end{align*}$ . Das geht mit dem Zirkel ganz schnell, weil ja $\begin{align*} BE \end{align*}$ schon die Länge $\begin{align*} \frac{1}{2} c \end{align*}$ besitzt.

D) Mit zwei Kreisen um $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} B \end{align*}$ , beide mit dem Radius $\begin{align*} a \end{align*}$ der Strecke $\begin{align*} AF \end{align*}$ konstruierst du nun den Punkt $\begin{align*} C \end{align*}$ oberhalb von $\begin{align*} AB \end{align*}$ .

$\begin{align*} ABC \end{align*}$ ist das gesuchte 72°-72°-36°-Dreieck. Und wir haben nirgendwo einen Winkelmesser gebraucht.

Alternativ kannst du die Gleichung $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ auch auf die Gestalt

$\begin{align*} a^2 + \left( \frac{1}{2} a \right)^2 = \left( c + \frac{1}{2} a \right)^2 \end{align*}$

bringen und damit ein 36°-36°-108°-Dreieck konstruieren (entspricht dem Dreieck $\begin{align*} BCD \end{align*}$ aus 1. bis 4.). Das ist vielleicht noch günstiger für die Konstruktion des Zehnecks, weil du damit gleich den 36°-Winkel an einem Radius $\begin{align*} a \end{align*}$ des Umkreises anlegen kannst.

EDIT
In 2. nach Hinweis von Gualtiero Buchstabendreher korrigiert.

04.05.2020, 20:48

Gualtiero

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Kleine Verständnisfrage:

Zitat:

Original von Leopold
2. Der Kreis um $\begin{align*} A \end{align*}$ durch $\begin{align*} B \end{align*}$ schneidet die Strecke $\begin{align*} AC \end{align*}$ in einem Punkt $\begin{align*} D \end{align*}$ .

Das verstehe ich so, dass ein
- Kreis mit Radius = c und
- A als Mittelpunkt
gezeichnet werden soll.

Der Kreis sollte Punkt B als Mittelpunkt haben, dann sind die Dreiecke ABC und DAB auch ähnlich. verwirrt

04.05.2020, 21:02

Leopold

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Du hast ja so recht. Ich habe es oben korrigiert. Danke für den Hinweis.

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