Regelmäßiges Zehneck mit gegebenem Radius und Seitenlänge konstruieren |
04.05.2020, 05:16 | Lea1996 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Regelmäßiges Zehneck mit gegebenem Radius und Seitenlänge konstruieren Hallo, es geht darum ein regelmäßiges Zehneck zu konstruieren. Der Radius ist gegeben und man soll den Satz des Pythagoras sowie die zuvor bewiesene Formel für die Seitenlänge verwenden. Meine Ideen: Ich weiß natürlich wie man ein r. Zehneck in einem Kreis konstruiert aber ich habe null Ahnung wie ich eines konstruieren soll speziell unter Verwendung der oben genannten Vorgaben. Hat jemand dazu vielleicht einen Tipp für mich? Grüße, lea |
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04.05.2020, 08:23 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann nimm doch einfach diese Konstruktion, und stelle die Verbindung her: D.h. weise nach, dass diese deine Konstruktion zu eben jener Seitenlängenformel passt. |
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04.05.2020, 08:32 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Regelmäßiges Zehneck mit gegebenem Radius und Seitenlänge konstruieren
Wenn du eine Konstruktion kennst, dann erfüllt doch diese Konstruktion die Beziehung zwischen Seitenlänge und Umkreisradius . Der Satz des Pythagoras wird sicher auch irgendwo in der Konstruktion enthalten sein.
Aus der Beziehung lässt sich leicht eine Konstruktion basteln. Man schreibt sie z. B. in der Form Hat man die Strecken , kann man daraus mittels Strahlensatz konstruieren. Die Strecke r bekommt man leicht mit dem Pythagoras. Das ist sicher nicht sehr elegant, erfüllt aber auch die Aufgabe. |
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04.05.2020, 08:58 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auch wenn schon zwei geantwortet haben, will ich meine Beschreibung, die ich in der Zwischenzeit fertiggestellt habe, hier hereinstellen, damit meine Arbeit nicht umsonst war. Die Aufgabe ist lösbar, wenn du etwas über den Goldenen Schnitt weißt. Da ich nicht weiß, wie ihr das eingeführt habt, nenne ich jetzt einmal meine Variante. 1. Wir betrachten ein Dreieck mit 72°-Winkeln bei und und einem 36°-Winkel bei . Daß 36° gerade die Hälfte von 72° sind, ist für die Beweisführung wichtig. Zeichne zunächst einmal ein solches Dreieck (hier noch mit dem Winkelmesser). Die Länge der Basis wird mit , die Länge der Schenkel mit bezeichnet. 2. Der Kreis um durch schneidet die Strecke in einem Punkt . Zeichne ein und ergänze die Figur durch die Strecke . Die hat natürlich auch die Länge , so daß gleichschenklig ist und dieselben Winkel wie besitzt. Kurzum: und sind ähnlich zueinander. 3. Rechne nun ganz elementar die Winkel des Restdreiecks aus. Du wirst feststellen, daß auch dieses gleichschenklig ist, womit auch die Länge besitzt. 4. Damit besitzt die Strecke die Länge . Die ähnlichen gleichschenkligen Dreiecke und müssen dasselbe Verhältnis von Basis zu Streckenlänge besitzen. Das führt auf die entscheidende Gleichung Mit den Nennern durchmultipliziert und ausmultipliziert erhältst du Die Idee ist nun, diese Gleichung auf Pythagoras-Form zu bringen. Der uralte babylonische Trick der quadratischen Ergänzung hilft. Auf beiden Seiten wird addiert, damit links eine binomische Formel entsteht. Die letzte Gleichung ist der Schlüssel der Konstruktion. Vielleicht habt ihr sie schon irgendwo hergeleitet. Dann brauchst du die Herleitung oben nicht noch einmal zu machen. Jetzt soll ein 72°-72°-36°-Dreieck ohne Winkelmesser konstruiert werden. (Genau diese Winkel brauchst du ja für dein Zehneck.) A) Zeichne waagerecht eine Strecke der Länge (beliebig) und halbiere diese mit Zirkel und Lineal. B) Konstruiere bei mit Zirkel und Lineal nach unten einen rechten Winkel zur Strecke . Trage auf dem Schenkel des Winkels die Strecke mit dem Zirkel ab. Der Endpunkt dieser Strecke heiße . Zeichne die Halbgerade . ist ein rechtwinkliges Dreieck mit und als Katheten. Jetzt schau dir die Gleichung noch einmal an. Die Länge der Strecke spielt jetzt bei Pythagoras die Rolle von . Du mußt also noch um verlängern, dann bekommst du . C) Verlängere die Strecke über hinaus um bis zum Punkt . Das geht mit dem Zirkel ganz schnell, weil ja schon die Länge besitzt. D) Mit zwei Kreisen um und , beide mit dem Radius der Strecke konstruierst du nun den Punkt oberhalb von . ist das gesuchte 72°-72°-36°-Dreieck. Und wir haben nirgendwo einen Winkelmesser gebraucht. Alternativ kannst du die Gleichung auch auf die Gestalt bringen und damit ein 36°-36°-108°-Dreieck konstruieren (entspricht dem Dreieck aus 1. bis 4.). Das ist vielleicht noch günstiger für die Konstruktion des Zehnecks, weil du damit gleich den 36°-Winkel an einem Radius des Umkreises anlegen kannst. EDIT In 2. nach Hinweis von Gualtiero Buchstabendreher korrigiert. |
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04.05.2020, 20:48 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kleine Verständnisfrage:
Das verstehe ich so, dass ein - Kreis mit Radius = c und - A als Mittelpunkt gezeichnet werden soll. Der Kreis sollte Punkt B als Mittelpunkt haben, dann sind die Dreiecke ABC und DAB auch ähnlich. |
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04.05.2020, 21:02 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast ja so recht. Ich habe es oben korrigiert. Danke für den Hinweis. |
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