Approximation Binomialverteilung durch Normalverteilung WTR

04.05.2020, 10:32

steviehawk

Approximation Binomialverteilung durch Normalverteilung WTR

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich wollte gerade nochmals einen Vergleich zwischen den exaktenWerten der Binomialverteilung den approx. Werten durch die Normalverteilung. Dabei habe ich einmal die Tabelle verwendet und einmal den WTR von TI (TI-30X-Plus Multiview)

Dabei ist mir aufgefallen, dass die Werte des WTR und der Tabelle stark abweichen. Hier mal die Zahlen:

$\begin{eqnarray*} n = 5, p=0,4, \end{eqnarray*}$ zu berechnen ist $\begin{eqnarray*} P(1 \leq X \leq 2) \end{eqnarray*}$

Binomialvtg. im WTR

$\begin{eqnarray*} P(1 \leq X \leq 2) = P(X \leq 2) - P(X \leq 0) = 0,6048 \end{eqnarray*}$

statt 1 muss man ja dann 0 schreiben, da sonst der Fall $\begin{eqnarray*} P(X=1) \end{eqnarray*}$ auch rausgeschmissenw wird..

Normalverteilung:
1. WTR

$\begin{eqnarray*} P(1 \leq X \leq 2) = ... \end{eqnarray*}$

im WTR bin ich zu NormalCDF, dann werde ich aufgefordert die Werte für Mü und Sigma einzugeben, außerdem untere und obere Grenze. Die obere Grenze ist offensichtlich 2 und die untere Grenze ist offensichtlich 1. Hier muss ich ja logischerweise die Zahlen nicht ändern, da die Dichtefunktion stetig ist und ich ja bis direkt an die Grenzen dran komme..

ich erhalte dann mit dem WTR (und auch in GeoGebra): $\begin{eqnarray*} P(1 \leq X \leq 2) = 0,319 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Tabelle verwende, dann wird empfohlen, da die Werte so klein sind noch die Korrektur mit $\begin{eqnarray*} \pm 0,5 \end{eqnarray*}$ zu machen.

Also $\begin{eqnarray*} P(1 \leq X \leq 2) = \phi(\frac{b+0,5-\mu}{\sigma}) - \phi(\frac{a-0,5-\mu}{\sigma}) = \phi(0,4566) - \phi(-1,3699) = \\ \phi(0,4566) - [1 - \phi(1,3699)] = \phi(0,4566) + \phi(1,3699) - 1 = 0,6736 + 0,9147 - 1 = 0,59 \end{eqnarray*}$

Also schon was anders, als mir der WTR (und auch GeoGebra) liefern.

Meine Ideen:
Jetzt frage ich mich, ob ich einen Fehler mache oder woran das liegt..

Ich vermute, dass der WTR nicht die Korrektur macht mit den 0,5 und deshalb die Abweichung entsteht..

stimmt das?

Danke für die Hilfe
Stevie

EDIT 1: Habe es gerade nochmals ohne die $\begin{eqnarray*} \pm 0,5 \end{eqnarray*}$ gemacht und dann kommt auch bei der Tabelle der Wert 0,319 raus..

EDIT 2: Da habe ich mal wieder ein ganz tolles Schulbuch vor mir liegen. Denn im Infotext über der Aufgabe wird auf den WTR verwiesen. In den Lösungen haben die Macher aber die Tabellen verwendet.
Wenn ich meine Lösungen aus dem WTR dann mit den Lösungen aus dem Buch vergleiche, dann stimmt es natürlich vorne und hinten nicht, da vor allem für kleine Werte diese Korrektur im WTR fehlt.. Klasse Hammer

04.05.2020, 11:05

HAL 9000

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Es sollte dir schon bewusst sein, dass Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B(n,p) \end{eqnarray*}$ einerseits und Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu=np,\sigma^2=np(1-p) \end{eqnarray*}$ VERSCHIEDENE Verteilungen sind! Allein schon deshalb, weil die erste diskret ist und nur Werte in $\begin{eqnarray*} \{0,1,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ annimmt, während die zweite stetig auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ verteilt ist. Über den Zentralen Grenzwertsatz bekommt man lediglich die Aussage, dass die Approximation der ersten Verteilung durch die zweite hinsichtlich gewisser Intervallwahrscheinlichkeiten für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ immer besser wird.

Da ist keine Rede davon, dass für den niedrigen Wert $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ bereits passable Approximationsgenauigkeiten erreicht werden. unglücklich

Die sogenannte Stetigkeitskorrektur (d.h. die mit dem $\begin{eqnarray*} \pm 0.5 \end{eqnarray*}$ ) ist gerade für kleine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unerlässlich, damit man wenigstens halbwegs in erträgliche Genauigkeitsbereiche kommt. Aber da rede ich noch gar nicht von $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ , sondern eher von der oft empfohlenen Schranke $\begin{eqnarray*} \sigma\geq 3 \end{eqnarray*}$ , was in $\begin{eqnarray*} np(1-p)\geq 9 \end{eqnarray*}$ und damit selbst im günstigsten Fall $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n\geq 36 \end{eqnarray*}$ mündet!

04.05.2020, 11:14

steviehawk

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Hallo HAL9000,

ja natürlich ist mir klar, dass das verschiedene Verteilungen sind. Und auch dass die Approximation für kleine Werte sehr schlecht ist auch klar. Ich habe mich nur durch die verschiedenen Lösungen verwirren lassen.

Bzw. Ein Gerät ist nur so schlau wie derjenige der es bedient. Bei der Tabelle wahr es für irgendwie naheliegend, alleins schon durch die Formel, dass ich die 0,5 Korrektur beachte.

Beim Eintippen in den WTR sah ich zunächst keine Möglichkeit dies zu tun, auch wenn es laut Bedingung nötig ist. Dabei kann ich ja im WTR auch einfach die obere und untere Grenze um die 0,5 anpassen. Da hatte ich kurz einen Hänger!

Danke vielmals!

04.05.2020, 11:28

HAL 9000

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Du kannst natürlich gern mit kleinen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vergleichend experimentieren und damit dann auch nachvollziehen, warum man diese Empfehlung $\begin{eqnarray*} np(1-p)\geq 9 \end{eqnarray*}$ für die Approximation vornimmt. Aber in einer tatsächlichen Problemlösung zur Binomialverteilung würde ich es dann doch besser unterlassen. Augenzwinkern

11.05.2020, 12:41

steviehawk

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Kann ich durch die Stetigkeitskorrektur auch schlechtere Approximationen erhalten? Ich denke ja!

Wenn ich $\begin{eqnarray*} n = 200 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p = 0,05 \end{eqnarray*}$ haben, dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} \mu = 10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma = 3.0822 \end{eqnarray*}$

Es ist dann: $\begin{eqnarray*} P(X \leq 4) = P(0\leq X \leq 4) = 2,65 % \end{eqnarray*}$ wenn ich es mit der Binomialverteilung rechne

1. Normalv. mit Korrektur

$\begin{eqnarray*} P (X \leq 4) = ... = 3,68 % \end{eqnarray*}$

2. Normalv. ohne Korrektur

$\begin{eqnarray*} P (X \leq 4) = ... = 2,52 % \end{eqnarray*}$

hier ist ja insgesamt $\begin{eqnarray*} \sigma > 3 \end{eqnarray*}$ wäre daher die Korrektur also nicht nötig und dann erhalte ich ohne das bessere Ergebnis?

Gruß Stevie

EDIT: Schaue ich mir das nächste Beispiel an, wo ebenfalls $\begin{eqnarray*} \sigma > 3 \end{eqnarray*}$ ist, ist es wieder mit Stetigkeitskorrektur besser..

also konkret $\begin{eqnarray*} n = 1000 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p = 0,1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P (X \leq 100) = 0,52 \end{eqnarray*}$ wenn ich die Binomialverteilung nehme

$\begin{eqnarray*} P (X \leq 100) = 0,5 \end{eqnarray*}$ wenn ich die Normalverteilung ohne Korrektur nehme

$\begin{eqnarray*} P (X \leq 100) = 0,52 \end{eqnarray*}$ wenn ich die Normalverteilung mit Korekur nehme

mir ist nicht klar, wann ich die Korrektur nehme soll und wann nicht.. Hammer

11.05.2020, 14:31

Huggy

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Zitat:

Original von steviehawkmir ist nicht klar, wann ich die Korrektur nehme soll und wann nicht.. Hammer

Eine allgemeine Empfehlung ist schwierig. Ganz generell sind Approximationen in den Randbereichungen einer Verteilung problematischer als in den mittleren Bereichen, es sei denn die Approximation ist speziell auf die Randbereiche ausgerichtet. Wenn man eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert, reduziert die Stetigkeitskorrektur in den mittleren Bereichen den Approximationsfehler. In den Randbereichen kann es aber auch zu einer Überkompensation kommen. Diese Randbereiche sind aber mit heutigen Rechnern meist einer exakten Berechnung mit der Binomialverteilung zugänglich.

11.05.2020, 16:27

steviehawk

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Danke für die Rückmeldung Freude

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