Majorante für sin(x^2)

04.05.2020, 11:27

Welli

Majorante für sin(x^2)

Meine Frage:
Meine Aufgabe lautet die Konvergenz bzw. Divergenz für das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty} \! sin(x^2) \, dx \end{eqnarray*}$ zu beweisen. Meine Idee war das ganze mithilfe des Majorantenkriteriums zu beweisen. Dadurch dass, der Sinus aber aber nicht streng monoton wachsend ist fällt es mir schwer eine solche Majorante zu finden.

Meine Ideen:
Mir ist bewusst, dass das Integral konvergiert, deshalb auch das Majorantenkriterium. Irgendwie habe ich die Vermutung, dass hier das Majorantenkriterium nichtmal die optimale Lösungsmethode ist..

04.05.2020, 11:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Welli
Mir ist bewusst, dass das Integral konvergiert

Das ist ja schon mal beachtlich, denn so sofort ersichtlich liegt das für die meisten nicht auf der Hand.

Mit "Majorantenkriterium" bin ich skeptisch, zumal in der Absolutvariante das Integral NICHT konvergiert, d.h., es ist

$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^{\infty} \left| \sin\left(x^2\right)\right| ~ \dd x = \infty \end{eqnarray*}$ .

Das sollte dir zu denken geben...

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Ich würde partiell integrieren, zunächst mit endlicher oberer Grenze $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^L \sin\left(x^2\right) ~ \dd x &=& \int\limits_1^L \frac{1}{2x}\cdot 2x\sin\left(x^2\right) ~ \dd x = \left[ -\frac{1}{2x}\cdot \cos\left(x^2\right) \right]_1^L - \int\limits_1^L \frac{1}{2x^2}\cdot \cos\left(x^2\right) ~ \dd x\\ &=& -\frac{1}{2L}\cos\left(L^2\right) +\frac{1}{2}\cos(1) - \int\limits_1^L \frac{1}{2x^2}\cdot \cos\left(x^2\right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Auf das Restintegral bezogen kannst du nun deine Majorantenidee womöglich reaktivieren...

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