Reihenwert: Grenzwert von (n/n!)

04.05.2020, 13:00

Yue2202

Reihenwert: Grenzwert von (n/n!)

Hallo,

ich soll den Reihenwert von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k+2}{k!} \end{eqnarray*}$ , jetzt habe ich die Summe in zwei Teile geteilt:

1. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2}{k!} \end{eqnarray*}$ und komme auf den Grenzwert 2e-2

2. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{k!} \end{eqnarray*}$ und hier habe ein Problem und komme nicht auf die Lösung.

Ansich kann ich das k kürzen und haben dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(k-1)!} \end{eqnarray*}$ und komme ich nicht ganz weiter.

Jetzt bin ich mir auch unsicher, ob das erste Summenglied stimmen würde. Vielleicht kann mir jemand hierbei helfen.

Vielen Danke im Voraus

04.05.2020, 13:11

willyengland

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Das ist doch e, oder? Zumindest als Grenzwert.

04.05.2020, 13:14

MaPalui

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Indexshift.

04.05.2020, 15:43

HAL 9000

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So ist es. Mit derartigen Indexshiftmethoden kann man übrigens $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{p(k)}{k!}x^k \end{eqnarray*}$ für jedes Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sowie jede (reelle oder komplexe) Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ rekursiv berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{p(k)}{k!}x^k = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{p(0)}{k!}x^k + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{p(k)-p(0)}{k\cdot (k-1)!}x^{k-1+1} = p(0)\cdot e^x + x\sum_{k=0}^{\infty} \frac{q(k)}{k!}x^k \end{eqnarray*}$

mit dem neuen Polynom $\begin{eqnarray*} q(k):=\frac{p(k+1)-p(0)}{k+1} \end{eqnarray*}$ . Im Fall $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(p)=0 \end{eqnarray*}$ sind wir fertig, andernfalls ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(q)=\operatorname{grad}(p)-1 \end{eqnarray*}$ .

05.05.2020, 07:44

Ulrich Ruhnau

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RE: Reihenwert: Grenzwert von (n/n!)

Zitat:

verbessertes Original von Yue2202
Hallo,

ich soll den Reihenwert von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k+2}{k!} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Jetzt habe ich die Summe in zwei Teile geteilt:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} e^x=\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} e=\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac 1{k!} \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} e-1=\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac 1{k!} \end{eqnarray*}$

Außerdem gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac 1{k!}=\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac 1{k!}-\sum\limits_{k=n+1}^{\infty } \frac 1{k!}=e- \sum\limits_{k=n+1}^{\infty } \frac 1{k!} \end{eqnarray*}$

Falls nun der Grenzwert $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gesucht ist, dann gilt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{k+2}{k!}=\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{2}{k!}+\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{k}{k!}=2(e-1)+e\approx 6{,}1548 \end{eqnarray*}$

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