Potenzieren komplexer Zahlen

04.05.2020, 13:02

jess1905

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Potenzieren komplexer Zahlen

Ich habe die Aufgabe, folgendes zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} }{2} i ) ^{2020} \end{eqnarray*}$

Ich finde irgendwie keinen passenden Ansatz dazu. Den Satz von Moiuvre kann ich schlecht benutzen, da wir dies in der Vorlesung nicht behandelt haben.
Ich hatte mir überlegt, mit dem Archimedischen Axiom und der Bernoulli-Ungleichung zu argumentieren, nur die Bernoulli-Ungleichung gilt ja nur für die reellen Zahlen.

Über eine Hilfe für einen Ansatz würde ich mich sehr freuen

04.05.2020, 13:08

MaPalui

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Hallo Jess,

bei solchen Aufgaben macht es immer Sinn, sich in kleinen Schritten zu nähern.
Es ist $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2i}| = 1 \end{eqnarray*}$ . Potenzieren erhält also den Betrag.
Weiterhin ist $\begin{eqnarray*} 2020 = 2\cdot 1010 = 2\cdot 2\cdot 505 = 2\cdot 2\cdot 5 \cdot 101 \end{eqnarray*}$ .
Kannst du damit bereits etwas anfangen?

04.05.2020, 13:16

jess1905

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hi,

das hatte ich mir auch am Anfang überlegt, aber wiederum habe ich mir überlegt, dass das ein wenig komisch wäre, so zu berechnen, wenn man sonst nur beweist...
vielleicht habe ich mir doch ein bisschen zu viele Gedanken gemacht..
ich machs dann mal so. Danke smile

smile

04.05.2020, 13:18

MaPalui

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Das passiert immer Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hier geht es übrigens wirklich auch ganz banal: Expontation mit n=1,2,3,4... ausprobieren

04.05.2020, 13:44

Elvis

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Weil eine 6. Einheitswurzel potenziert wird muss man nur 2020 modulo 6 als Exponent wählen. Und auch diese Potenz muss man nicht groß ausrechnen, denn es muß wieder eine 6. Einheitswurzel sein.

04.05.2020, 13:56

jess1905

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hi Elvis,

ich verstehe leider nicht so ganz, was du mit 6. Einheitswurzel meinst.

Die Sache ist auch, dass mir gesagt wurde, dass man schon die Sachen aus der Vorlesung oder Übungsblättern nutzen sollte und man auf eine einfache vom Taschenrechner berechnete Lösung nicht die vollen Punkte bekommt.
Nur wir haben bisher nur metrische Räume und Konvergenzen behandelt.. weshalb ich da keinen Zusammenhang finden kann.

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04.05.2020, 14:00

Elvis

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$\begin{eqnarray*} (\frac 1 2 +i\cdot \frac {\sqrt 3}{2})^6=1\Rightarrow (\frac 1 2 +i\cdot \frac {\sqrt 3}{2})^{2020}=(\frac 1 2 +i\cdot \frac {\sqrt 3}{2})^4=-(\frac 1 2 +i\cdot \frac {\sqrt 3}{2}) \end{eqnarray*}$
ganz ohne rechnen, nur mit anschauen.

04.05.2020, 14:14

jess1905

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ahhh okay das Rechnerische macht schon Sinn
Darf ich fragen, wie man eigentlich auf sowas kommt? geschockt

geschockt

Das Bild verstehe ich irgendwie leider nicht so ganz

04.05.2020, 14:52

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Im Komplexen gibt es sechs Lösungen für die sechste Wurzel von Eins, nämlich die roten Punkte, die Elvis eingezeichnet hat. Eine davon ist nun die Zahl, die Du zur 2020ten Potenz erheben sollst. Ich habe sie mal eingekringelt:

[attach]51157[/attach]

Und nun ist klar, dass diese Zahl hoch sechs wieder Eins ergibt, denn der Winkel wird ja einfach versechsfacht. Hoch zwölf genauso, hoch achtzehn auch usw.

Das heißt: hoch 2020 ist zunächst hoch 2016 (auch ein Vielfaches von 6) und dann noch hoch vier. Und dieses viermalige Weiterschieben des Winkels habe ich ebenfalls eingezeichnet. Du landest bei der Lösung Deiner Aufgabe.

Unser Workshop ist vielleicht auch hilfreich.

Viele Grüße
Steffen

EDIT: Zeichnung und Text korrigiert.

04.05.2020, 15:30

Elvis

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Denke nochmal darüber nach, ich komme auf eine andere Lösung, weil die 1. Potenz gleich der gegebenen Wurzel ist.

Wie kommt man darauf? Man kennt die Einheitswurzeln, die gehören zu meinen besten Freunden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.05.2020, 15:37

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Elvis
Denke nochmal darüber nach

Ja, danke. Hab's korrigiert.

Viele Grüße
Steffen

04.05.2020, 15:38

Elvis

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Noch eine Korrektur im Text. 6. EW hoch 6 ist gleich 1.

04.05.2020, 15:46

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Elvis
6. EW hoch 6 ist gleich 1.

Ebenfalls korrigiert. Ist wohl nicht mein Tag heute.

04.05.2020, 19:58

jess1905

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ahhhh okay das macht jetzt Sinn alles.
Danke für die Hilfe smile

smile

04.05.2020, 20:31

Leopold

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Ich gebe zu, wenn man die Sache mit den Einheitswurzeln kennt, liegt alles klar vor einem, und die Aufgabe ist ein Klacks. Nur muß man davon ausgehen, und jess1905 sagt das ja gerade, daß dies alles gerade nicht bekannt ist. Man hat da also nur eine komplexe Zahl, die man mit 2020 potenzieren soll. Vielleicht kommt man auf die richtige Idee, wenn man erst einmal versucht. MaPalui hat den entscheidenden Hinweis gegeben: 1,2,3,4,...

$\begin{align*} a = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} \end{align*}$

$\begin{align*} a^2 = \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} \right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} \end{align*}$

Schon dieses erste Ergebnis ist doch erstaunlich: Nur der Realteil hat sein Vorzeichen geändert. Die Zahl ist irgendwie weder "kleiner" noch "größer" geworden.

Und bei der nächsten Multiplikation mit $\begin{align*} a \end{align*}$ haben wir auf einmal eine dritte binomische Formel:

$\begin{align*} a^3 = a^2 \cdot a = \left( - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} \right) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} \right)^2 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 = - \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = -1 \end{align*}$

Und jetzt braucht man keine neuen Rechnung mehr auszuführen:

$\begin{align*} a^4 = a^3 \cdot a = (-1) \cdot a = -a \end{align*}$

$\begin{align*} a^5 = a^4 \cdot a = - a \cdot a = - a^2 \end{align*}$

$\begin{align*} a^6 = a^5 \cdot a = - a^2 \cdot a = - a^3 = -(-1) = 1 \end{align*}$

Und spätestens jetzt, wenn nicht schon längst, sollte der halbwegs begabte Mathematiker sehen, wie man auf $\begin{align*} a^{2020} \end{align*}$ kommt.

04.05.2020, 21:08

jess1905

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Hi Leopold,

danke für die ausführliche Antwort!
Ja ich hatte eigentlich bis jetzt nie von den Einheitswurzeln gehört, also ist deine Antwort auch eine sehr große Hilfe, ohne die Einheitswurzeln benutzen zu müssen! smile

smile

ist aber trotzdem schön was neues zu lernen, wie die Einheitswurzeln und dieser Graph.

04.05.2020, 22:13

Leopold

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Zitat:

Original von jess1905
ohne die Einheitswurzeln benutzen zu müssen! smile

smile

Man benutzt sie doch. Man weiß nur nicht, daß sie so heißen. Aber man entdeckt durch Rechnung $\begin{align*} a^3 = -1 \end{align*}$ , obwohl im Gegensatz zu dem aus dem Reellen Gewohnten $\begin{align*} a \neq -1 \end{align*}$ ist. Und dann später $\begin{align*} a^6 = 1 \end{align*}$ , obwohl $\begin{align*} a \neq \pm 1 \end{align*}$ ist. Klar, mit der Eulerschen Identität und der Deutung der komplexen Multiplikation als Drehstreckung oder im Spezialfall als Drehung paßt auf einmal alles wunderbar zusammen, und man kann sich das merkwürdige Ergebnis auf einmal anschaulich erklären.

05.05.2020, 09:12

Steffen Bühler

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Und eigentlich klingelt es bei jedem Mathematiker, wenn er die Zahl $\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt 3}2 \end{eqnarray*}$ sieht, ist es doch die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks der Kantenlänge Eins. Sieht man auch in Elvis' Zeichnung.

Viele Grüße
Steffen

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