Gedanken zur Didaktik der trigonometrischen Funktionen

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Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »
Gedanken zur Didaktik der trigonometrischen Funktionen
Meine Frage:
Ich hab' das Thema mal der Schulmathematik zugeordnet. Auch wenn ich noch kein Thread zur Didaktik gefunden habe, denke ich, dass sowas zu einem Forum, indem es darum geht Schülern*innen/Student*innen zu helfen.

Hallo!
Ich bin zu folgendem Gedanken gekommen, als ich mich gefragt habe, warum man Sinus und Kosinus so definieren kann. Leider bin ich nur auf Wikipedia fündig geworden.

(https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_...nkligen_Dreieck)

Das hat allerdings die Frage aufgeworfen, warum man das sonst nirgendwo findet und warum das nicht in der Schule gelehrt wird.
Bei mir war's so, dass die Funktionen einfach vom Himmel gefallen sind. Außerdem haben wir die Ähnlichkeit und Kongruenz erst nach dem Kapitel "Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck" durchgenommen.
Aber eigentlich stelle ich mir das didaktisch ganz toll vor:

Kongruenz, Ähnlichkeit --> Dreiecksarten --> speziell rechtwinklige Dreiecke --> Satz des Pythagoras --> Sinus und Kosinus mit Ähnlichkeit

Die Details lassen sich ändern, es geht mir hauptsächlich darum, dass die Definition eingebaut wird, damit man einen roten Faden hat.

Denkt ihr, das hilft v. a. schwächeren Schülern, das ganze besser nachvollziehen zu können? Hilft das, Schülern zu zeigen, dass die Mathematik überall miteinander verbunden ist?

Das wollte ich jedenfalls mal teilen.

~ Tangentialvektor

Meine Ideen:
.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In den 1960er Jahren haben wir lange mit euklidischer Geometrie und insbesondere mit Dreiecken gearbeitet und dabei auch die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck eingeführt (Mittelstufe Gymnasium ? ). Danach wurden die Winkelfunktionen am Einheitskreis eingeführt, weil man darin die rechtwinkligen Dreiecke wiederfindet. Analysis mit reellen Zahlen und Funktionen kam erst viel später, ebenso analytische Geometrie und ein bißchen Mengenlehre (Oberstufe Gymnasium ? ). Genau weiß ich es nicht mehr, aber ich erinnere mich, dass das Erstaunen darüber groß war, dass es auch anders geht. Staunen und sich wundern ist immer hilfreich, wenn man etwas lernen will.
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe hier mal zwei Seiten aus meinem Mathematikbuch der 10. Klasse des Schuljahres 1972/73, mit denen der Sinus eines Winkels eingeführt wurde.
Antezedenz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gedanken zur Didaktik der trigonometrischen Funktionen
Zitat:
Original von Tangentialvektor
Ich bin zu folgendem Gedanken gekommen, als ich mich gefragt habe, warum man Sinus und Kosinus so definieren kann. Leider bin ich nur auf Wikipedia fündig geworden.

(https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_...nkligen_Dreieck)

Das hat allerdings die Frage aufgeworfen, warum man das sonst nirgendwo findet und warum das nicht in der Schule gelehrt wird.


Hm, zum Thema "warum man das sonst nirgendwo findet " und "nicht in der Schule gelehrt wird" hier ein Auszug aus dem Inhaltsverzeichnis vom aktuellen Lambacher-Schweizer, Ausgabe Baden-Württemberg, 9. Klasse Gymnasium.

PS: Ich habe das vor 30 Jahren schon so gelernt ...
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gedanken zur Didaktik der trigonometrischen Funktionen
Das hier ist die Seite, auf der der Sinus eingeführt wird. Die Definition wird mit keinem Wort erwähnt, was schade ist. Ich glaube, eine detaillierte Diskussion der Beweise, und ein logischer Aufbau würden zum Verständnis beitragen. Und es die Gleichungen fühlen sich nicht wie vom Himmel gefallen an.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie verstehe ich deinen Beitrag nicht. Auf dem Scan steht doch "Definition". Und in den vorhergehenden Absätzen wird erklärt, warum, wie wir Fachleute sagen würden, die Definition repräsentantenunabhängig ist. Das einzige, was ich kritisieren würde, ist der Plauderton, der das so im Vorübergehen abhandelt, statt die hier erforderliche Ähnlichkeit prägnant herauszuarbeiten.
 
 
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eben auch mein Problem. Das ist genau das: "Hier Definition, hier Aufgaben" ohne Kontext, was ich kritisiere. Ich glaube, dass so viele eher wenig Mathematik-affin sind, liegt daran, dass so viele denken, dass es nur um's Gleichungen büffeln geht.
Ebenfalls glaube ich, dass, wenn man die einfachen Beweise durchgeht, kann man ein Gefühl dafür schaffen, dass die Gleichung nicht vom Himmel gefallen sind.
Ein wenig Abwechslung zu dem "Definition - Aufgaben"-Schema.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich es noch weniger. Was kritisiert du jetzt speziell an dem Scan? Daß ein Beweis fehlt? Wofür den Beweis? Definitionen kann man nicht beweisen. Man kann und sollte sie in aller Regel nur didaktisch motivieren.
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde es didaktisch ungünstig, dass die Definition einfach in den Raum geworfen werden, ohne irgendeinen Kontext. Ich glaube, das hindert Schüler, ein tieferes Verständis zu entwickeln.

Ähnlich mit der a-b-c-Formel aus der gleichen Buchreihe. Man hat die Gleichung einfach in die Hand gedrückt bekommen, obwohl der Beweis eigentlich einfach genug wäre, um ihn 8. Klässlern vorzuführen. Die Schüler sehen, wie die Gleichung aus der allgemeinen Form eines quadratischen Polynoms entspringt, was, so meine ich, zu einem tieferen Verständnis dafür führen könnte.

~ Tangentialvektor
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was hättest du erwartet vor der Definition des Sinus? Welchen Kontext? Das eigentlich Erstaunliche an der Elementartrigonometrie ist doch, daß Winkel eineindeutig (wir sind am rechtwinkligen Dreieck) Seitenverhältnissen entsprechen. Wenn man also diese Seitenverhältnisse ein für alle Mal ausrechnet und irgendwo aufschreibt, dann kann man Winkel und Seiten ineinander umrechnen. Und die Mathematiker haben diesem Aufschreiben der Seitenverhältnisse die klangvollen Namen Sinus, ... gegeben.
Worin ich dir recht gebe, ärgerlich ist das Beiläufige, mit dem das abgehandelt wird. Das liegt daran, daß die Didaktiker der Mathematikbücher eine Heidenangst davor haben, Schüler mit Mathematik zu erschrecken. Denn da müßten die Schüler sich ja anstrengen und selber denken. Deswegen weichen die Didaktiker aus in dieses "so nebenbei", als sei alles eine Selbstverständlichkeit und Mathematik doch wirklich sehr leicht. Das soll vermittelt werden. Es soll die Angst vor der Mathematik genommen werden. Daß damit aber oft das Gegenteil erreicht wird, ist auch richtig. Denn der "Standardnormalschüler" tut sich mit Mathematik schwer, die Bücher suggerieren aber: alles ist so leicht, woraus eben dieser Schüler schließt: "Offenbar bin ich dumm. Wenn ich schon das Leichte nicht kapiere …"
Ich halte es anders. Ich sage gelegentlich: Jetzt kommt ein schwieriges Stoffgebiet (ist natürlich auch gefährlich, weil das gerade schwächere Schüler auch demotivieren kann), aber wenn wir uns gemeinsam anstrengen, schaffen wir das.

Was die Lösungsformel für quadratische Gleichungen angeht. Ich selber beweise die in meinem Unterricht immer, nachdem ich zuvor an vielen Gleichungen die quadratische Ergänzung geübt habe, die wir, statt auf die Koeffizienten 4,-3,2, nun auf die Koeffizienten anwenden. Aber: Ich bin mir bewußt, daß ich an den meisten meiner Schüler vorbeirede, trotz dieser sorgfältigen Vorbereitung. Eigentlich tue ich es nur, um mein mathematisches Gewissen zu beruhigen. Viele Kollegen sagen sich stattdessen: Was soll ich mich damit abmühen, wenn's sowieso keiner versteht - und knallen die Formel an die Tafel. Ich kann für diese Haltung Verständnis aufbringen. Aber der Mathematiker in mir sträubt sich dagegen. Und wenn's nur einer von zehnen versteht, dann tue ich es für den.
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