Form eines Maßes zeigen

04.05.2020, 20:36

MaPalui

Form eines Maßes zeigen

Guten Abend smile

ich sitze an dieser Aufgabe hier:
[attach]51163[/attach]

Mein Ansatz ist wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist höchstens abzählbar, also ist die Potenzmenge eine Sigma-Algebra.
Da $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ Maß ist, sind die Axiome erfüllt.

M1) $\begin{eqnarray*} \forall\epsilon\in\Omega : \epsilon\not\in A \forall A\in Pot(\Omega) \Rightarrow \sum\limits_{\epsilon\in\Omega}\alpha_{\omega}\epsilon_{\omega} = 0 =\mu(\emptyset) \end{eqnarray*}$

Gut, für das erste Axiom konnte ich die Form nun bereits zeigen.

Ist dies richtig gedacht? Leider macht mir das zweite Axiom nun doch starke Probleme.

04.05.2020, 22:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von MaPalui
$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist höchstens abzählbar, also ist die Potenzmenge eine Sigma-Algebra.

Die Potenzmenge einer Menge ist immer eine Sigma-Algebra, und zwar die größtmögliche über dieser Menge - auch bei überabzählbaren $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht wolltest du was anderes ausdrücken: Der Abzählbarkeit wegen lässt sich die Gesamtmenge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ als abzählbare Vereinigung von Einermengen darstellen - DAS unterscheidet diesen Fall von den überanzählbaren $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , wo das nicht mehr möglich ist. Was die Maßfestlegung über Erzeugendensysteme dort dann erheblich komplizierter macht...

05.05.2020, 14:32

MaPalui

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Hallo HAL 9000,

danke für deine hilfreiche Antwort. Zuerstmal habe ich gelernt, genauer zu sein. Das die Potenzmenge immer eine Sigma-Algebra ist, hatte ich nach der Einführung der Borelmengen verdrängt. Danke für diese Klarstellung!

Nun zur Aufgabe. Ich habe mir also notiert: $\begin{eqnarray*} \Omega = \bigcup\limits_{\omega\in\Omega} \left\{\omega\right\} \end{eqnarray*}$ und verstehe das auch.

Nun habe ich aber gesehen, habe ich einen weiteren Fehler oben gemacht.
Es müsste ja heißen: $\begin{eqnarray*} \mu(\emptyset) = \sum\limits_{\omega\in\emptyset}\alpha_{\omega}\epsilon_{\omega} \end{eqnarray*}$ , statt wie oben über alle Elemente der Grundmenge zu iterieren. Aber damit kommt ja an dieser Stelle die leere Summe raus, was also $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Sorry für den abgehakten Post, wollte nicht, dass der Server mir wieder alles zerschießt Big Laugh

Ist dieser Ansatz korrekt?
Ich versuche mich nun am zweiten Axiom mit der von dir zur Verfügung gestellten Idee.

05.05.2020, 18:18

IfindU

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Hallo Maren,

ich fürchte du hast die Aufgabe nicht verstanden.

Du sollst Zahlen $\begin{eqnarray*} \alpha_\omega \geq 0 \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} \mu(A) = \sum_{\omega \in A} \alpha_\omega \epsilon_\omega(A) \end{eqnarray*}$ für alle Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gilt.

Man kann die Zahlen kanonisch definieren. Um zu zeigen, dass die Gleichheit für alle Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gilt braucht man natürlich die Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ein Maß zu sein und $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar.

08.05.2020, 09:39

MaPalui

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Hallo ihr beiden,

ich danke euch vielmals für eure Antworten. Wir haben nun die Musterlösung zur Aufgabe bekommen. An sich steige ich da auch durch.
Was mich im Nachhinein immer ärgert ist die Tatsache, dass ich die Aufgaben immer falsch angehe. Es mangelt überhaupt nicht am Verständnis. Das frustriert mich echt sehr und ich glaube das ist auch der Grund, weshalb ihr mir manchmal schon nahezu die Lösung einer Aufgabe postet, und ich eure Hinweise trotzdem nicht verstehe unglücklich

Aber das war mehr mein allgemeiner Frust, euch bin ich natürlich dankbar und frage weiter smile

LG
Maren

08.05.2020, 12:42

IfindU

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Mache dir klar, was zu zeigen ist. Das ist die Aufgabe, alles andere sind Annahmen, welche du benutzt kannst (und generell benutzen musst), um etwas zu zeigen.

Hier ist ja "Jedes Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist von der Form xyz".

Hier wird nicht angezweifelt, dass $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ein Maß ist. Es ist gegeben. Was zu zeigen ist, dass es eine spezielle Eigenschaft besitzt, konkret eine spezielle Form. Wann besitzt es die Form? Wenn es für alle Mengen das gleiche Ergebnis ausspuckt!

Damit hast du deine Aufgabe. Und auch schon den ersten Lösungsschritt: Was passiert, wenn ich $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten reinstecke. Was passiert wenn ich 1,2 oder 3-elementige reinstecke.

Und so kommt man sofort darauf, dass $\begin{eqnarray*} \mu( \{ \omega_0 \} ) \stackrel ! = \sum_{\omega \in \Omega} \alpha_{\omega} \epsilon_\omega(\omega_0) = \alpha_{\omega_0} \end{eqnarray*}$ . Wenn es die Form hat, hat man also schon eine feste Vorgabe für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Diese stimmt per Definition auf allen 1-elementigen Mengen. Es bleibt die restliche Mengen zu prüfen.

Ich versuche so zu denken: Was soll gelten? Warum soll das überhaupt gelten, oder kenne ich Beispiele wo es nicht gilt? Welche Voraussetzungen verletzen meine Beispiele.

Dann habe ich generell eine Vorstellung welches Vehalten die Voraussetzungen ausschließen möchten. Und dann kann ich damit auch was anfangen. Ist natürlich sehr individuell, aber so versuche ich Aufgaben zu lösen.

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