Partielle Ableitung richtig?

05.05.2020, 09:39

Archimedes_91

Partielle Ableitung richtig?

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich hätte eine recht einfache Frage:

Ich habe folgende Differentialgleichung mit $\begin{eqnarray*} f(x,t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x,t) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}(g\cdot f)=0 \end{eqnarray*}$

Daraus bilde ich

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial t}+g\frac{\partial f}{\partial x}+ f\frac{\partial g}{\partial x}=0 \end{eqnarray*}$ .

Mit der Information $\begin{eqnarray*} g=g(f) \end{eqnarray*}$ folgt für den letzten Term

$\begin{eqnarray*} f\frac{\partial g}{\partial x}=f\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} f}\frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$

und letzlich

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial t}+g\frac{\partial f }{\partial x}+f\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} f}\frac{\partial f}{\partial x}=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Frage ist, wieso man einfach das partielle Differential $\begin{eqnarray*} \partial g/\partial x \end{eqnarray*}$ in ein totales multipliziert mit einem partiellen Differential ersetzen kann.

Vielen Dank für jede Hilfe.

LaTeX-Tags repariert. Steffen

05.05.2020, 09:56

Ulrich Ruhnau

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RE: partielle Ableitung richtig?

Zitat:

Original von Archimedes_91
Mit der Information $\begin{eqnarray*} g=g(f) \end{eqnarray*}$ folgt für den letzten Term

Hier ist unklar, ob Du $\begin{eqnarray*} f\cdot g \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ gemeint hast.

05.05.2020, 10:07

Huggy

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RE: partielle Ableitung richtig?

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Augenzwinkern

Das wird dem Fragesteller mächtig helfen! unglücklich

05.05.2020, 10:10

Archimedes_91

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RE: partielle Ableitung richtig?
Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ich meine eine Multiplikation und keine Verkettung.

05.05.2020, 10:16

Ulrich Ruhnau

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RE: partielle Ableitung richtig?
@Huggy

zuerst wollte ich die Lesbarkeit der Anfrage herstellen, indem ich den Fragesteller zitiere und dabei die Latex-Tags einfüge. Als ich damit fertig war, erkannte ich, daß mir Steffen zuvor gekommen war. Deshalb wollte ich meinen Beitrag löschen. Weil das aber nicht mehr ging, habe ich meinen Beitrag durch einen Smiley ersetzt. Es wäre mal interessant zu wissen, wie man seinen Beitrag vollständig herauslöschen kann, falls er überflüssig wurde.

05.05.2020, 10:20

Huggy

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RE: Partielle Ableitung richtig?

Zitat:

Original von Archimedes_91
Meine Frage ist, wieso man einfach das partielle Differential $\begin{eqnarray*} \partial g/\partial x \end{eqnarray*}$ in ein totales multipliziert mit einem partiellen Differential ersetzen kann.

Wenn gilt

$\begin{eqnarray*} g=g(f(x,t)) \end{eqnarray*}$

ist es egal, ob man schreibt

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial g}{\partial x}=\frac {dg}{df}\frac {\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial g}{\partial x}=\frac {\partial g}{\partial f}\frac {\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Wäre allerdings

$\begin{eqnarray*} g=g(f(x.t),h(x,t)) \end{eqnarray*}$

dann hätte man

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial g}{\partial x}=\frac {\partial g}{\partial f}\frac {\partial f}{\partial x}+\frac {\partial g}{\partial h}\frac {\partial h}{\partial x} \end{eqnarray*}$

05.05.2020, 10:31

Ulrich Ruhnau

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RE: Partielle Ableitung richtig?

Zitat:

Original von Archimedes_91
[Ich habe folgende Differentialgleichung mit $\begin{eqnarray*} f(x,t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x,t) \end{eqnarray*}$ :
....
Mit der Information $\begin{eqnarray*} g=g(f) \end{eqnarray*}$ folgt für den letzten Term

Das sind zwei Angaben, die sich widersprechen.

05.05.2020, 10:34

Steffen Bühler

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RE: partielle Ableitung richtig?
OT:

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Es wäre mal interessant zu wissen, wie man seinen Beitrag vollständig herauslöschen kann, falls er überflüssig wurde.

Das machen die Moderatoren gerne, wenn Du sie informierst.

05.05.2020, 15:35

Archimedes_91

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RE: Partielle Ableitung richtig?
Ist es denn nicht so, dass $\begin{eqnarray*} g(x,t)=g(f(x,t)) \end{eqnarray*}$ gelten kann?

05.05.2020, 16:19

Huggy

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RE: Partielle Ableitung richtig?
Streng genommen geht das nicht, denn links und rechts stehen unterschiedliche Funktionen, die demnach auch unterschiedliche Bezeichner bekommen sollten, z. B.

$\begin{eqnarray*} h(x,t)=g(f(x,t)) \end{eqnarray*}$

Da aber jedermann weiß, wie

$\begin{eqnarray*} g(x,t)=g(f(x,t) \end{eqnarray*}$

gemeint ist, ist es durchaus gebräuchlich, diese lasche Schreibweise zu verwenden.

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