Orthogonale Matrizen

05.05.2020, 11:27	hanuta2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Matrizen Meine Frage: Hallo, vielleicht kann mir jemand helfen, sitze schon zu lange daran, ohne weiterzukommen: Sei A (nxm)-Matrix wobei die Spalten $\begin{eqnarray} v_1,...,v_m \end{eqnarray}$ aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ein ONS bilden. Sei außerdem $\begin{eqnarray} U \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ der Spaltenraum von A. ZZ: 1) ker $\begin{eqnarray} A\overset{T}{A} \end{eqnarray}$ =ker $\begin{eqnarray} \overset{T}{A} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} U^\perp \end{eqnarray}$ 2)für alle u aus $\begin{eqnarray} \overset{T}{A} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} A\overset{T}{A}(u)=u \end{eqnarray}$ Meine Ideen: zu 1): es gilt schon mal ker $\begin{eqnarray} A\overset{T}{A} \end{eqnarray}$ =kerA und durch ein wenig umformen mit der direkten Summe ist $\begin{eqnarray} U^\perp \end{eqnarray}$ ={ $\begin{eqnarray} u \in U \end{eqnarray}$ \|<u,a> = 0 $\begin{eqnarray} \forall a \in U \end{eqnarray}$ }. Hier gilt wegen <u,u> > 0, dass $\begin{eqnarray} U^\perp \end{eqnarray}$ = 0 zu 2) hab ich keine Idee :c gemeint ist AA_transponiert und ich weiß dass A_transponiertA =Id also dass A orthogonal ist Bei 2) ist u in U. Außerdem hab ich die erste Gleichheit in 1) gezeigt Willkommen im Matheboard! Ich habe die drei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Viele Grüße Steffen

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