Konvexität und Folgerungen

05.05.2020, 16:51	lunalovegood	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvexität und Folgerungen Meine Frage: Ich höre zZ Analysis 2 und wir hatten grade KOnvexität und die damiteinhergehenden folgerungen nun sollen wir beweisen (f(b) -f(a)) / (b-a) < (f(c) -f(a)) / (c-a) < (f(c)-f(b)) / (c-b) f sei eine konvexe funktion und a<b<c * alle kleiner zeichen sollen kleiner gleich zeiche sein Meine Ideen: ich habe noch nicht so wirklich ideen wie ich das angehen soll das einzige was ich mir überlegt habe ist, dass f' monoton wachsend ist und damit folgt, dass (f(b) -f(a)) / (b-a) < (f(c)-f(b)) / (c-b) gilt aber wie zeige ich den erst ??
05.05.2020, 19:12	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvexität und Folgerungen Sei $\begin{eqnarray} a < b < c \end{eqnarray}$ und f(x) eine konvexe Funktion. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\le\frac{f(c)-f(b)}{c-b} \end{eqnarray}$ Eine Funktion $\begin{eqnarray} f() \end{eqnarray}$ ist konvex wenn für alle x,y gilt: $\begin{eqnarray} f\big(t\,x+(1-t)\,y\big)\le t\, f(x)+(1-t)\,f(y)\quad t\in[0,1] \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} x=a, y=c, b=t a+(1-t) c \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} f(b) \le t\,f(a) + (1-t)\,f(c) \end{eqnarray}$ . In dieser Gleichung muß man $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ nur noch als Funktion von $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ ausdrücken, damit man auf die gesuchte Ungleichung kommt. [attach]51167[/attach]

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »