DGL Eigenvektor berechnen

05.05.2020, 16:13

Mathman91

DGL Eigenvektor berechnen

Hallo zusammen,

ich habe ein DGL beispiel wo ich gerade die Eigenvektoren berechne:

Eigenwerte habe ich schon berechnet und ich bekomme zweimal das selbe ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Eingevektor $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = \begin{pmatrix} 1-1 & 12\\ 3 & 1-1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung lautet: $\begin{eqnarray*} 0*x_{1}+12*x_{2}=0 \end{eqnarray*}$

0*x1 fehlt ja weg.

Somit habe ich: $\begin{eqnarray*} 12*x_{2}=0 \end{eqnarray*}$

Nun noch durch 12 dividiert ergibt: $\begin{eqnarray*} x_{2}=0 \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Gleichung: $\begin{eqnarray*} 3*x_{1}+0*x_{2}=0 \end{eqnarray*}$ kommt für x1 auch 0 raus.

Dann wäre $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das gleiche bei Lambda 2.

Mit 0 brauche ich ja garnicht mehr weiterrechnen.

Wo liegt mein Fehler?

Viele Grüße

05.05.2020, 19:12

Helferlein

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Ganz einfach: 1 ist kein Eigenwert deiner Matrix. Ansonsten würde es eine Lösung ungleich Nullvektor geben.

Abgesehen davon solltest Du deine Darstellung korrigieren. Der Eigenwert ist nicht dasselbe wie der Eigenvektor.

06.05.2020, 07:15

Mathman91

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O.K., 1 kommt aber bei der berechnung des Eigenwertes mit der PQ-Formel heraus.

Wie muss ich jetzt weitermachen?

06.05.2020, 07:25

Mathman91

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Hier noch das Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \vec{y'}=\begin{pmatrix} 1 & 12 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}*\vec{y} \end{eqnarray*}$

VG

06.05.2020, 07:28

newti

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Deine obige Matrix lässt eher vermuten, dass sich die Nullstellen des charakteristischen Polynoms durch $\begin{eqnarray*} (1- \lambda)^2=36 \end{eqnarray*}$ ergeben.
Und da kommt sicher nicht 1 raus. verwirrt

06.05.2020, 10:58

Mathman91

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Warum 36?

Zum bilden der Eigenvektoren, muss ich ja zuerst die Eingenwerte berechnen.

Die PQ- Formel ergibt dann für beide Lambda = 1.

06.05.2020, 11:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathman91
Warum 36?

Weil nun mal $\begin{eqnarray*} det \left(\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 12 \\ 3 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \right) = (1-\lambda)^2 - 36 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Daß lambda = 1 kein Eigenwert sein kann, ergibt sich ja schon aus deiner Schwierigkeit, zu diesem angeblichen Eigenwert einen nicht-trivialen Eigenvektor zu finden. smile

06.05.2020, 14:13

Mathman91

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Was muss ich jetzt machen?

Jetzt kenne ich mich überhaupt nicht mehr aus.

War die berechnung mit der PQ-Formel umsonst?

06.05.2020, 14:39

klarsoweit

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Auf was (welche Gleichung) hast du denn die pq-Formel losgelassen? Dieses Geheimnis hast du ja bislang für dich behalten. geschockt

06.05.2020, 14:41

newti

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (1- \lambda)^2=36 \end{eqnarray*}$

Was ist denn so schwer daran zu verstehen, dass man diese Gleichung lösen muss ? verwirrt

Das ist Schulstoff 8. Klasse.

Falls du nicht weißt, wie man Determinanten berechnet, dann schlage nochmal in deinen Unterlagen nach. Wink

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