Äquivalenzrelationen, Klassen und Verfeinerung

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PeMep Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelationen, Klassen und Verfeinerung
Hallo,

Meine Frage ist eine sehr theoretische über das Konzept der Äquivalenzrelationen, Klassen, Partitionen und Verfeinerungen bzw. den Begriffen "Grob" und "Fein".

In unserem Skript steht, um kurz mein Verständnisproblem zu erläutern:

Wenn und Äquivalenzrelationen auf einer Menge M sind, dann gibt es eine gröbste Äquivalenzrelation die und verfeinert.

Zuerst eine kurze Zusammenfassung von dem was ich meine verstanden zu haben. Nehmen wir mal an es geht nur um eine beliebige Äquivalenzrelation, nämlich . Diese zu verfeinern bedeutet eine neue, ich nenne sie in diesem Fall , zu finden so dass gilt:

-Jedes Klasse von ist innerhalb einer Klasse von .
-Dies bedeutet auch, dass wenn ein Element m aus der Menge äquivalent zu einem anderen Element m' bezüglich ist, gilt dies auch für .
-Bildlich kann man sich ja solche besonderen Relationen eben gut als eine Partition, also als kleinere Kreise innerhalb eines großen Kreises, der Menge M vorstellen. Und die Klassen der verfeinerung würden ja noch einmal kleinere Kreise innerhalb der Kreise von den Klassen von bilden, richtig?

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Nun zu der Aussage aus meinem Skript. Im Prinzip kann ich mir dies wie eine Schranke vorstellen oder?
Es gibt unter den Äquivalenzrelationen welche die die anderen beiden verfeinert, also mehrere wobei eine gröber ist,
also weniger Kreise innerhalb der bereits vorhanden Klassen bildet als wiederrum eine andere, welche die Klassen nochmals mehr aufspaltet.
Und unter diesen natürlich auch eine gröbste die die gegebenen Äquivalenzrelationen gerade noch so verfeinert.

Meine Fragen sind nun:

-Bedeutet es und zu verfeinern, dass Klassen von entweder in einer Klasse von oder liegen? Kann es unter Klassen auch überschneidungen kommen? Ich nehme es mal an.

-Wie würde man an einen Beweis für die genannte Aussage herangehen?

Mfg,

P
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist sehr viel Text für eine Aufgabe, ich werde eine kurze Antwort versuchen. Eine gemeinsame Verfeinerung hat jedenfalls nicht weniger Klassen als jede der beiden Relationen, von denen man ausgeht. Die gröbste gemeinsame Verfeinerung hat möglichst wenig Klassen. Dieses Konzept kommt immer wieder vor, und man nimmt alle Durchschnitte der in beiden Relationen vorhandenen Klassen.
Wenn du ein paar Beispiele machst, wird sehr schnell klar, wie das geht, und dann fällt ein Beweis auch nicht mehr schwer, wenn du einen machen möchtest.
Bedenke, dass zu jeder Aequivalenzrelation eine vollständige Zerlegung der Menge in paarweise disjunkte Klassen gehört (und umgekehrt).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag: Sind und zwei Klassen der ersten und der zweiten Äquivalenzrelation, dann sind die Klassen der gröbsten gemeinsamen Verfeinerung . Oben habe ich nur den Durchschnitt erwähnt, gemeint habe ich das so, wie hier beschrieben.
PeMep Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir vielmals. Ich habe gerade ein riesen Tafelbild gemacht und versuche es mir anhand eines Beispiels selber nochmal klar zu machen! Mir fehlt einfach jegliche Übung, da dies so ziemlich eine der ersten Aufgaben ist die wir über dieses Thema bekommen haben. Die Intuition ist bei mir schon da, aber Intuition ist ja nicht immer hinreichend in der Mathematik. Ich schaue, dass jetzt die Definitionen nochmal sitzen und dann versuche ich selber nochmal zu diesem Ziel zu gelangen. Vielen dank!

Vielleicht noch eine kleine Minifrage, welche mir nicht bewusst war. Sagen wir ich habe nur die Äquivalenzrelation . Ist dann die göbste Äquivalenzrelation die diese verfeinert, die Äquivalenzrelation selbst? Oder zählt das nicht?

Mfg,

P
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ganz sicher richtig.

Ein anschauliches Beispiel ist ein kariertes Blatt Papier. Rel1: Zeilen. Rel2: Spalten. GGV: Kästchen.

(Entweder ist mein "Nachtrag" falsch, oder dieses "Beispiel" ist falsch. verwirrt )
PeMep Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, mit deinem A und B Beispiel, meintest du dass alle 3 Mengenoperationen ausgeführt auf alle Klassen der beiden Äquivalenzrelationen zu einer gröbsten verfeinerung führen, oder doch im Zusammenspiel? Wir haben gelernt das jede Äquivalenzrelation eine Partition ist, und man anders herum aus jeder Partition auch eine Äquivalenzrelation bilden kann, bzw in unserem Skript steht dort etwas mit Abbildungen beschrieben. Es wurden Abbildungen definiert, bei denen genau dann 2 Elemente gleich sind, wenn sie in den selben "Block" der Partition abgebildet werden. Würde es mir beim Beweis helfen mit diesen Abbildungen zu argumentieren?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem mit dem Papierbeispiel ist, dass eine Zeile A ohne ein Kästchen einer Spalte B, also A\B, kein Kästchen ist, kann also nicht eine Klasse der Verfeinerung sein.

Ich nehme an, dass die Klasseneinteilung der gröbsten Verfeinerung die Vereinigung aller Durchschnitte von Klassen A und B mit den Differenzen aller Klassen mit diesem Durchschnitt ist. Also
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Weil jedes x aus einer Klasse A auch in einer Klasse B liegt, gibt es keine x aus A oder B, das nicht in der Vereinigung der Durchschnitte liegt, also war meine erste Vermutung richtig. smile
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