Induktion

05.05.2020, 23:20

David_Mathe

Induktion

Meine Frage:
Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} > n + 1 \end{eqnarray*}$ ist für n > 3.

Meine Ideen:
Den Induktionsanfang habe ich bereits. Ich hänge irgendwie beim Induktionsschritt.
Ich habe dann: $\begin{eqnarray*} 2^{n} > n + 2 \end{eqnarray*}$ Aber wie muss ich jetzt weiter machen?

05.05.2020, 23:51

printer

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Zitat:

Ich habe dann: $\begin{eqnarray*} 2^{n} > n + 2 \end{eqnarray*}$

Gerade das soll man ja zeigen und aus der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} > n + 1 \end{eqnarray*}$ schließen.

Gehe also von $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} > n + 1 \end{eqnarray*}$ aus und multipliziere die Ungleichung mit 2.

Damit bist du eigentlich auch schon fast fertig mit dem Induktionsschritt - siehst du warum ?

06.05.2020, 07:46

David_Mathe

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Ich glaube ich verstehe so langsam die Idee, aber irgendwie klappt das mit dem Umstellen noch nicht so richtig.

Wenn ich den Term $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} > n+1 \end{eqnarray*}$ mit 2 multipliziere, erhalte ich folgendes: $\begin{eqnarray*} 4^{n} > 2n+2 \end{eqnarray*}$
Und was muss ich jetzt machen?
Üü

06.05.2020, 07:49

klarsoweit

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Da solltest du dir aber nochmal die Potenzregeln anschauen! Was ist $\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ ?

06.05.2020, 08:16

David_Mathe

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Ich wollte eigentlich $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} > 2n+2 \end{eqnarray*}$ schreiben.
Stimmt das?

06.05.2020, 08:18

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Nein. Noch ein Versuch ?

06.05.2020, 08:19

David_Mathe

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Ich wollte eigentlich $\begin{eqnarray*} 2^{n} > 2n+2 \end{eqnarray*}$ schreiben.
Stimmt das? Also ohne die hoch +1

06.05.2020, 08:22

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Ja das stimmt nun.
Jetzt musst du ja nur noch hierhin kommen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2^{n} > n + 2 \end{eqnarray*}$

Was ist also nur noch zu tun ?

06.05.2020, 08:24

David_Mathe

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Abschätzen?

06.05.2020, 08:26

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Ja, was wäre dein Vorschlag ?

06.05.2020, 08:29

David_Mathe

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Die Abschätzung 2n > n anwenden?

06.05.2020, 08:35

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So einfach ist es hier, genau. Freude

Somit bist du von der Aussage A(n) ausgegangen und hast daraus A(n+1) geschlossen:

$\begin{eqnarray*} 2^{n-1} > n+1 \iff 2^{(n+1)-1}=2^n > 2n+2>n+2=(n+1)+1 \end{eqnarray*}$

06.05.2020, 08:45

David_Mathe

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Vielen Dank für deine Hilfe und deinen Ansatz. Ich dachte, dass ich A(n+1) umformen muss und dann zu A(n) komme.

06.05.2020, 09:18

printer

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Etwas spannender wird es wenn du den Grad des Polynoms auf der rechten Seite erhöhst.
Zur Übung kannst du ja z.B. mal versuchen $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} > n^2 + 1 \end{eqnarray*}$ per Induktion zu zeigen.
Überlege dir zunächst ab welchem n das überhaupt gilt.

06.05.2020, 09:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von David_Mathe
Ich dachte, dass ich A(n+1) umformen muss und dann zu A(n) komme.

Das ist ein mögliches Vorgehen, das aber nur dann wirklich gut funktoiniert, wenn die Umformungen Äquivalenzumformungen sind. Formal mußt du nur zeigen, daß $\begin{eqnarray*} A(n) \Rightarrow A(n+1) \end{eqnarray*}$ gilt. smile

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