Länge nicht parametrisierter Kurven

05.05.2020, 23:55

Pinahoo2006

Länge nicht parametrisierter Kurven

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} \vec{x}_{m \neq n} : (0,2 \pi) \rightarrow \mathbb{R}^{2} \end{eqnarray*}$ Kurven mit
$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{m \neq n}(\phi)=\frac{1}{2 m}\left(\begin{array}{c} \cos (m \phi) \\ \sin (m \phi) \end{array}\right)+\frac{1}{2 n}\left(\begin{array}{c} \cos (n \phi) \\ \sin (n \phi) \end{array}\right), m, n \in \mathbb{Z} \backslash\{0\} \end{eqnarray*}$
Berechnen Sie die Längen $\begin{eqnarray*} L\left[\vec{x}_{m \neq n}\right] \end{eqnarray*}$ und zeigen Sie, dass die Kurven nicht regulär (d.h. $\begin{eqnarray*} \exists \phi_{i} \in(0,2 \pi) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \vec{x}_{m \neq n}^{\prime}\left(\phi_{i}\right)=\overrightarrow{0} \end{eqnarray*}$ ) sind.

Meine Ideen:
Die Berechnung der Länge würde ich über die Längenformel einer Kurve vornehmen. Wie ich jedoch zeigen soll, dass die Kurve nicht regulär ist, weiß ich leider nicht.

06.05.2020, 07:48

Huggy

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RE: Länge nicht parametrisiert Kurven

Zitat:

Original von Pinahoo2006
Wie ich jedoch zeigen soll, dass die Kurve nicht regulär ist, weiß ich leider nicht

Na, mit der Definition

Zitat:

die Kurven nicht regulär (d.h. $\begin{eqnarray*} \exists \phi_{i} \in(0,2 \pi) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \vec{x}_{m \neq n}^{\prime}\left(\phi_{i}\right)=\overrightarrow{0} \end{eqnarray*}$ ) sind.

Wie denn sonst? Dabei mag es hilfreich sein, in einer Formelsammlung mal die diversen Relationen für die Winkelfunktionen anzuschauen. Meine Empfehlung:

$\begin{eqnarray*} \sin \alpha + \sin \beta = \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos \alpha + \cos \beta = \ldots \end{eqnarray*}$

P. S. Die Überschrift erscheint mir unpassend. Das sind doch parametrisierte Kurven.

06.05.2020, 08:09

HAL 9000

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Statt Additionstheoremen könnte man auch nutzen, dass die Komponenten der Kurve Real- und Imaginärteil der Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi\mapsto \frac{1}{2m}e^{im\varphi} + \frac{1}{2n}e^{in\varphi} \end{eqnarray*}$ sind. Das erleichtert die Rechnung ein ganzes Stück.

06.05.2020, 08:34

Leopold

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Du mußt ableiten und überprüfen, wann der Ableitungsvektor der Nullvektor ist. Ich schreibe $\begin{align*} \vec{x} = (x,y) \end{align*}$ und bezeichne die Ableitungen nach $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ mit einem Punkt. Du mußt also ein $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ bestimmen, das das überbestimmte Gleichungssystem $\begin{align*} \dot{x}=0 \, , \ \dot{y}=0 \end{align*}$ löst.

Da ein Vektor nur dann der Nullvektor ist, wenn er die Länge 0 besitzt, könntest du natürlich auch untersuchen, wann $\begin{align*} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} = 0 \end{align*}$ wird. Den Term links mußt du ja sowieso für die Längenberechnung ermitteln. Dann geht das in einem.

Zur Kontrolle und als wichtiges Zwischenziel deiner Rechnung: $\begin{align*} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} = \left| \cos \left( \frac{m-n}{2} \varphi \right) \right| \end{align*}$

Erstaunlicherweise ist die Kurvenlänge unabhängig von $\begin{align*} m,n \end{align*}$ .

[attach]51172[/attach]

Das Bild zeigt den Fall $\begin{align*} m=3, \, n=8 \end{align*}$ . Wenn der Punkt $\begin{align*} P \end{align*}$ die Kurve durchläuft, hält er bei den Spitzen kurz inne, um sich aus der Sackgasse herauszudrehen. Das sind die kritischen Punkte, von denen du einen ermitteln sollst.

Ergänzung

Es scheint so zu sein: Kurven mit gleichem Quotienten $\begin{align*} \frac{m}{n} \end{align*}$ sind ähnlich. Beim vollständig gekürzten Bruch wird die Kurve einmal durchlaufen. Das Erweitern des Bruches mit einem Faktor $\begin{align*} k \end{align*}$ streckt die Kurve mit dem Faktor $\begin{align*} \frac{1}{k} \end{align*}$ . Die Länge bleibt dennoch erhalten, weil die gestreckte Kurve entsprechend $\begin{align*} k \end{align*}$ -mal durchlaufen wird. Vertauschen von Zähler und Nenner führt zur selben Kurve. Das sieht man ja schon an der Parameterdarstellung.

06.05.2020, 09:29

Huggy

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Jetzt hat der Fragesteller reichlich Auswahl, muss aber hoffentlich nicht die Qual der Wahl erdulden. Der Term

$\begin{eqnarray*} \cos \left (\frac {m-n} 2 \varphi \right ) \end{eqnarray*}$

ergibt sich übrigens auch bei meinem Vorschlag mit den Additionstheoremen.

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