Gleichheit bei umparametrisierten Kurven

06.05.2020, 11:20	Malou2016	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit bei umparametrisierten Kurven Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} \vec{r} : I\to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine Kueve in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ . zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} s(t):= \int_{\alpha}^{t} \! \|\dot{\vec{r}}(t\prime) \, dt\prime\| \end{eqnarray}$ die Gleichheit $\begin{eqnarray} \|\vec{c}\prime(s)\|=\|\frac{d\vec{c}}{da}\|=1 \end{eqnarray}$ impliziert, wobei $\begin{eqnarray} \vec{c}(s(t))=\vec{r}(t) \end{eqnarray}$ eine Umparametrisierung der Kurve $\begin{eqnarray} \vec{r} \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Ich habe darüber nachgedacht s(t) in der zu zeigenden Gleichheit einzusetzen. Jedoch brachtet mir das nicht wirklich etwas...
06.05.2020, 12:19	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst beweisen $\begin{eqnarray} \left \| \tfrac{d\vec c}{da} \right \|=1 \end{eqnarray}$ . Ist das ein Schreibfehler? Muss es nicht heißen $\begin{eqnarray} \left \| \tfrac{d\vec c}{ds} \right \|=1 \end{eqnarray}$ ? Letzteres kann man wie folgt beweisen: ------------------------------------------------------------------------------------ Die Bogenlänge einer Kurve $\begin{eqnarray} \vec r (t) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} s(t)=\int_a^t \left \| \tfrac{d\vec r}{dt}\right \|\,\,dt \end{eqnarray}$ Bekanntlich ist das Differenzieren die umgekehrte Operation zum Integrieren. Wenn man also dieses Integral nach dem Kurvenparameter t differenziert, ergibt sich wieder der Integrand, also $\begin{eqnarray} \tfrac{ds}{dt}=\left \| \tfrac{d\vec r}{dt}\right \| \end{eqnarray}$ _____________Formel () Führt man eine Umparametrisierung gemäß $\begin{eqnarray} \vec r(t)=\vec c[s(t)] \end{eqnarray}$ durch, ergibt sich daraus nach Differenzieren mittels Kettenregel $\begin{eqnarray} \tfrac{d\vec r}{dt}=\tfrac{d\vec c}{ds}\tfrac{ds}{dt} \end{eqnarray}$ _____________Formel () Einsetzen von Formel () in Formel () ergibt $\begin{eqnarray} \tfrac{ds}{dt}=\left \| \tfrac{d\vec c}{ds}\tfrac{ds}{dt} \right \|=\left \| \tfrac{d\vec c}{ds} \right \| \cdot \left \| \tfrac{ds}{dt} \right \| \end{eqnarray}$ Division durch $\begin{eqnarray} \tfrac{ds}{dt} \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} 1=\left \| \tfrac{d\vec c}{ds} \right \| \end{eqnarray}$

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