Feldenergie periodischer Dipol (Summenformel gesucht)

06.05.2020, 15:13	IronPhoenix	Auf diesen Beitrag antworten »
Feldenergie periodischer Dipol (Summenformel gesucht) Ich versuche die elektrostatische Energie eines periodischen Dipols zu berechnen (erstmal in einer Dimension). Numerisch ist das moeglich (erste Partialsummen mit Programm berechnen, Fehlerabschaetzung durch Integralvergleich). Mich interessiert, ob es fuer die folgende Reihe eine allgemeine analytische Loesung gibt. $\begin{eqnarray} W(C) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+C}\right) \ \text{mit} \ 0<C<1 \end{eqnarray}$
06.05.2020, 15:31	IronPhoenix	Auf diesen Beitrag antworten »
Fuer C=1/2 kann man auf die alternierende harmonische Reihe umformen. Aber ansonsten faellt mir leider nix ein.
06.05.2020, 15:43	Tangentialvektor	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich bin nicht so erfahren (anders für ich hab' keine Ahnung), aber, wenn du meinen Versuch kennen willst: $\begin{eqnarray} W(C) = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{C}{n^2 + C}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{C}{n^2} + 1 = C ( \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n^2} + 1) = C (\frac{ \pi ^2 }{6} + \sum_{n=1}^{\infty} 1 ) \end{eqnarray}$ und die letzte Summe haut gegen unendlich ab. ~ Tangentialvektor
06.05.2020, 15:45	Tangentialvektor	Auf diesen Beitrag antworten »
[quote]Original von Tangentialvektor Hallo, ich bin nicht so erfahren (anders für ich hab' keine Ahnung), aber, wenn du meinen Versuch kennen willst: $\begin{eqnarray} W(C) = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = \sum_{n=1}^{\infty} ( \frac{C}{n^2 + C}) = \sum_{n=1}^{\infty}( \frac{C}{n^2} + 1) = C (\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n^2} + 1) = C (\frac{ \pi ^2 }{6} + \sum_{n=1}^{\infty} 1 ) \end{eqnarray}$ und die letzte Summe haut gegen unendlich ab. ~ Tangentialvektor
06.05.2020, 17:14	IronPhoenix	Auf diesen Beitrag antworten »
@Tangentialvektor: Sorry, aber die von dir angegebenen Umformungen ergeben fuer mich keinen Sinn. C=1 ist nicht im Definitionsbereich (waere aber schoen, weil man dann einfach eine Teleskopsumme haette ). Ich versteh auch nicht warum da C so zwischendurch verschwindet und dann wieder aus dem nichts auftaucht. Schlussendlich verwendest du die Loesung des beruehmten Basler Problems, aber die Umformungen bis dahin sind fuer mich nicht nachvollziehbar. Dass die von mir angegebene Reihe fuer alle C im Definitionsbereich gegen einen endlich Wert konvergiert, kann man mit Leibnizkriterium oder Integralvergleich zeigen.
06.05.2020, 17:19	Tangentialvektor	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir fällt gerade auf, dass ich die Umformung falsch gemacht hab'. Also simple Bruchrechnung. Tut mir wahnsinnig leid
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