-1 = 1 mit komplexen Zahlen

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Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »
-1 = 1 mit komplexen Zahlen
Meine Frage:
Hallo!
Kennt ihr dieses Video:
https://www.youtube.com/watch?v=xoEvlmZkNcg
In diesem Video wird folgende Problematik vorgestellt:


Ist das nicht ein so fundamentaler Widerspruch, dass es das ganze Konzept der komplexen Zahlen mit der imaginären Einheit über den Haufen wirft?

~ angentialvektor

Meine Ideen:
.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Uralter Unsinn, der nicht berücksichtigt, dass die Quadratwurzel zweiwertig ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Tangentialvektor

Dann schau einmal diesen Beweis an:

Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann den Kosinus nicht so auseinander ziehen.
Machst du dich über mich lustig?
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe zum Beispiel Quadrat der imaginären Einheit

Viele Grüße
Steffen
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tangentialvektor
Man kann den Kosinus nicht so auseinander ziehen.


Wieso nicht?



Dann einsetzen.

Zitat:
Original von Tangentialvektor
Machst du dich über mich lustig?


Nicht über dich, aber über die Beweismethode. Gut, du kannst es vielleicht nicht wissen, weil du noch nicht so lange bei uns bist. Aber wie Elvis es bereits angedeutet hat, kommt dieser Unsinn so gefühlt alle zwei bis drei Monate einmal hier an.
Um ernst zu werden: Man kann eine Formel nur für den Bereich anwenden, für den sie auch gemacht ist. Die reelle Wurzelfunktion erfüllt die Funktionalgleichung der Verträglichkeit mit der Multiplikation nichtnegativer reeller Zahlen. Aber hier geht es um etwas anderes, nämlich die komplexe Wurzel. Daß man hier dasselbe Zeichen wie im Reellen verwendet, hat seine Gründe, ist aber die eigentliche Ursache der Verwirrung.
Der obige Cosinus-Unsinn hat übrigens einen ernsten Hintergrund. Gerade schwache Schüler, die oft nicht inhaltlich, sondern nur formal denken, arbeiten genau nach diesem Muster. Sie erkennen nicht den Sinn einer Funktionsanwendung und halten das für eine Anwendung des Distributivgesetzes. Es ist ein rein formaler Akt ohne jeden Sinn.
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

" ist Quark"
Wenn, und irgendeine Zahl ungleich ist, kann ergeben doch die komplexen Zahlen als Möglichkeit, die Gleichung zu lösen, keinen Sinn, oder verstehe ich da was grundlegend falsch?

Edit: Nach Leopolds Beitrag hat's geklickt
Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Genaugenommen ist auch der Malpunkt in der oberen Ungleichung in und ausserhalb der Wurzel unterschiedlich.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tangentialvektor
Wenn, und irgendeine Zahl ungleich ist, kann ergeben doch die komplexen Zahlen als Möglichkeit, die Gleichung zu lösen, keinen Sinn, oder verstehe ich da was grundlegend falsch?


Die Gleichung ist im Reellen unlösbar. Im Komplexen hat diese Gleichung zwei Lösungen . Es besteht die Faktorisierung



Ein Koeffizientenvergleich (Satz von Vieta) zeigt:



Die erste Gleichung sagt: Die beiden Lösungen sind additiv invers zueinander, die zweite Gleichung sagt: sie sind multiplikativ invers zueinander. Mehr kann man aus der Algebra nicht herausholen. Die beiden Lösungen lassen sich algebraisch nicht unterscheiden. Sie sind völlig gleichberechtigt. Es gibt sozusagen nicht die "richtige" Wurzel aus -1.
Wenn man nun komplexe Zahlen in der Gaußschen Ebene darstellt, setzt man eine der beiden Lösungen im Abstand 1 oberhalb, die andere im Abstand 1 unterhalb des Nullpunkts auf der imaginären Achse fest. Gut, die obere nennt man dann , die untere wäre dann . Aber was bedeutet schon "oben" oder "unten" in der euklidischen Ebene! Nur weil wir auf unserer Tischfläche den einen Blattrand als unteren, den andern als oberen bezeichnen, gibt es da ein "oben" und "unten"? Stellen wir uns vor, nachdem wir also "unten" festgelegt haben, wir würden jetzt das oberhalb als bezeichnen, was wegen ja möglich ist. Und schon wäre unser formal aus den komplexen Zahlen verschwunden. Wir brauchen es nicht, weil wir ja dafür haben.
Und was ist jetzt noch mal die "richtige" Wurzel aus -1? oder ?

Man könnte es auch so sagen: Das Minuszeichen gibt im Bereich der komplexen Zahlen nur noch die Funktion "Gegenzahl einer Zahl" an. Die Bedeutung "negativ" ergibt keinen Sinn mehr.
Tangentialvektor Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, ich hätte da doch noch eine Frage.
Wo kommt den die Faktorisierung her? Ich denke da an den Fundamentalsatz der Algebra, aber für den bräuchte man ja die komplexen Zahlen.

~ angentialvektor
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Den Fundamentalsatz der Algebra braucht man nicht mehr nur für die komplexen Zahlen. Man kann jedes Polynom über jedem Körper faktorisieren, denn es gibt zu jedem Körper einen algebraisch abgeschlossenen algebraischen Erweiterungskörper , und der ist auch noch bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Vor 220 Jahren konnte Carl Friedrich Gauß das noch nicht wissen, aber heute wissen wir das, und deshalb zerlegen wir nach Belieben jedes Polynom vom Grade aus in Linearfaktoren aus .
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