Integration

06.05.2020, 23:46	Chad	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration Bitte um Hilfe Bestimmen sie das Integral: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \int_{a}^{b} \! \frac{e^{2x}-2}{2e^{-x}+1} \, dx <br /> <br /> u = e^x<br /> <br /> \int_{a}^{b} \! \frac{u^2-2}{2+u} \, du \end{eqnarray}$ Weiter komme ich nicht ? Was soll ich weiter machen ?
07.05.2020, 00:10	HNF	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst jetzt Polynomdivision anwenden. Ich erhalte dann folgendes: $\begin{eqnarray} u-2 +\frac{2}{u+2} \end{eqnarray}$
07.05.2020, 11:07	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration Guten Tag, nur ein Hinweis: $\begin{eqnarray} \frac{e^{2x}-2}{2e^{-x}+1} =\frac{e^{2x}-2}{\frac{2+e^x}{e^x}} =\frac{e^{3x}-2e^x}{2+e^x} \end{eqnarray}$ .... und tschüs!
07.05.2020, 12:27	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration Netter Hinweis, aber man muß ja auch beachten, daß $\begin{eqnarray} du = e^x~dx \end{eqnarray}$ ist. Die Rechnung von Chad ist also durchaus richtig.
07.05.2020, 23:40	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration $\begin{eqnarray} I=\int_{a}^{b} \! \frac{e^{2x}-2}{2e^{-x}+1} \, dx \quad u=e^x\quad\frac{\dd u}{\dd x}=e^x\quad \frac{\dd u}{e^x}=\dd x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I=\int_{e^a}^{e^b} \! \frac{u^2-2}{2+u} \, du =\int_{e^a}^{e^b} \! \frac{u^2-4+2}{2+u} \, du =\int_{e^a}^{e^b} \! \frac{(u-2)(u+2)+2}{2+u} \, du=\int_{e^a}^{e^b} \! \left(u-2+\frac{2}{2+u}\right) \, du=\left[\frac 12u^2-2u+2\ln(2+u)\right]_{e^a}^{e^b} \end{eqnarray}$
08.05.2020, 07:50	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration Nun ja, eine Komplettlösung ist nicht unbedingt das, was an dieser Stelle gebraucht wurde. Einfach mal warten, was der Fragesteller noch benötigt.
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08.05.2020, 09:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie fast immer gibt es Alternativen. Manchmal unterscheiden sie sich nur in Nuancen. Eine solche wäre hier, nachdem man den Bruch mit $\begin{align} \operatorname{e}^x \end{align}$ erweitert hat, den ganzen Nenner zu substituieren. In $\begin{align} \frac{\color{blue}\operatorname{e}^{2x} \color{black} -2}{\color{green} \operatorname{e}^x + 2} \cdot \color{red} \operatorname{e}^x ~ \dd x \end{align}$ substituiert man also $\begin{align} \color{green} \operatorname{e}^x + 2 = t \end{align}$ Nach $\begin{align} \operatorname{e}^x \end{align}$ auf gelöst und quadriert: $\begin{align} \color{blue} \operatorname{e}^{2x} = \left( t-2 \right)^2 \end{align}$ Und noch das Differential: $\begin{align} \color{red} \operatorname{e}^x ~ \dd x = \dd t \end{align}$ Das ist nicht gerade der große Renner, aber vielleicht in Spuren einfacher. Oder auch nicht.

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