Potenzreihe finden, die bestimmte Eigenschaften besitzt

07.05.2020, 13:09

AbelscherGrenzwert

Potenzreihe finden, die bestimmte Eigenschaften besitzt

Meine Frage:
Guten Tag ich hänge an einer Aufgabe und komme nicht weiter:
Ich soll für die Potenzreihe f(x) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } a_{n}*x^{n} \end{eqnarray*}$ eine Funktion f finden, welche folgende Eigenschaften besitzt:
1. f''(x) = f(x)
2. f(0) = -1
3. f(ln(2)) = 1
Außerdem soll ich zeigen, dass f eindeutig ist.

Meine Ideen:
Ich habe die allgemeine Potenzreihe zweimal abgeleitet:
f''(x) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{(n+2)!}{n!}*a_{n+2}*x^{n} \end{eqnarray*}$
Dann hab ich nach Vorraussetzung f''(x) = f(x) gesetzt =>
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)!}{n!}*a_{n+2}*x^{n} = a_{n} \end{eqnarray*}$ (Identitätssatz)
Das $\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)!}{n!}*a_{n+2}*x^{n} für a_{n} eingesetzt \end{eqnarray*}$ dann kam raus: f(x) = $\begin{eqnarray*} a_{n+2}*(n+2)!*e^x \end{eqnarray*}$ .
Ich glaube aber das ist falsch und die beiden anderen Eigenschaften habe ich auch nicht angewendet.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
MFG

07.05.2020, 13:25

Leopold

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RE: Potenzreihe finden, die bestimmte Eigenschaften besitzt

Zitat:

Original von AbelscherGrenzwert
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)!}{n!}*a_{n+2}*x^{n} = a_{n} \end{eqnarray*}$ (Identitätssatz)

Hier ist der Fehler. Das $\begin{align*} x^n \end{align*}$ hat da nichts verloren. Richtig ist also

$\begin{align*} (n+1)(n+2) a_{n+2} = a_n \end{align*}$

Aus dieser Beziehung kann man die $\begin{align*} a_n \end{align*}$ iterativ berechnen, sobald man die Startwerte $\begin{align*} a_0 \end{align*}$ und $\begin{align*} a_1 \end{align*}$ kennt. Nutze die weiteren Anforderungen an $\begin{align*} f \end{align*}$ .

07.05.2020, 13:51

AbelscherGrenzwert

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Kriege ich die $\begin{eqnarray*} a_{0}, a_{1} \end{eqnarray*}$ mit der Formel: $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{f^{(n)}(x_{0}) }{n! } \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

07.05.2020, 14:11

Leopold

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$\begin{align*} f \end{align*}$ kennst du ja gerade noch nicht.

Aus 2. kannst du zunächst $\begin{align*} a_0=-1 \end{align*}$ ermitteln. Du mußt nur $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ in die Potenzreihe einsetzen (in Potenzreihen ist $\begin{align*} 0^0 \end{align*}$ immer $\begin{align*} =1 \end{align*}$ zu setzen).

Den Wert für $\begin{align*} a_1 \end{align*}$ würde ich zunächst offenlassen, zum Beispiel: $\begin{align*} a_1 = \gamma \end{align*}$ , damit das Ding einen schönen Namen hat. Dann gehe schrittweise vor, bis dir ein Licht aufgeht:

$\begin{align*} a_2 = \frac{a_0}{1 \cdot 2} = - \frac{1}{1 \cdot 2} \end{align*}$

$\begin{align*} a_3 = \frac{a_1}{2 \cdot 3} = \frac{\gamma}{2 \cdot 3} \end{align*}$

Jetzt mache noch ein paar weitere Schritte. Rechne die Nenner nicht aus. Wenn du die Formel für $\begin{align*} a_n \end{align*}$ gefunden hast, hast du auch schon die Potenzreihe, allerdings noch mit dem Parameter $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ . Es ist sinnvoll, hier nach geraden und ungeraden Indizes aufzuspalten:

$\begin{align*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} x^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n+1} x^{2n+1} \end{align*}$

Vielleicht erkennst du in den Teilreihen bekannte Funktionen wieder. Dann würde ich zum Schluß noch 3. verwenden, um schließlich auch $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ zu bestimmen.

07.05.2020, 14:21

AbelscherGrenzwert

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Danke erstmal für deine Hilfe, merke selbst das meine Antwort Mist war.
Aus deiner Antwort folger ich: $\begin{eqnarray*} a_{n} = (-1)^{n}*\frac{a_{0} }{n!} \end{eqnarray*}$
Stimm das?

07.05.2020, 14:41

AbelscherGrenzwert

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Meine natürlich $\begin{eqnarray*} a_{n} = (-1)^{n}*\frac{\gamma }{n!} \end{eqnarray*}$ .
Dann hab ich:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=o}^{\infty } a_{n}*x^{n} = f(x) = \sum\limits_{n=o}^{\infty } (-1)^{n}*\frac{\gamma }{n!} *x^{n} \end{eqnarray*}$
=> f(x) = [latex] \sum\limits_{n=o}^{\infty } (-1)^{2n}*\frac{\gamma }{2n!} *x^{2n} + \sum\limits_{n=o}^{\infty } (-1)^{2n+1}*\frac{\gamma }{(2n+1)!} *x^{2n+1} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^{2n}*\gamma *\frac{x^{2n} }{(2n)!} + \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^{2n+1}*\gamma *\frac{x^{2n+1} }{(2n+1)!} = (-1)^{2n}*\gamma *\sum\limits_{n=0}^{\infty } *\frac{x^{2n} }{(2n)!} + (-1)^{2n+1}*\gamma *\sum\limits_{n=0}^{\infty } *\frac{x^{2n+1} }{(2n+1)!} = (-1)^{2n}*\gamma *cosh(x) + 1}*\gamma *sinh(x).
Ist das richtig so und wie wende ich jz 3. an?

07.05.2020, 14:44

AbelscherGrenzwert

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=> f(x) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=o}^{\infty } (-1)^{2n}*\frac{\gamma }{2n!} *x^{2n} + \sum\limits_{n=o}^{\infty } (-1)^{2n+1}*\frac{\gamma }{(2n+1)!} *x^{2n+1} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^{2n}*\gamma *\frac{x^{2n} }{(2n)!} + \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^{2n+1}*\gamma *\frac{x^{2n+1} }{(2n+1)!} = (-1)^{2n}*\gamma *\sum\limits_{n=0}^{\infty } *\frac{x^{2n} }{(2n)!} + (-1)^{2n+1}*\gamma *\sum\limits_{n=0}^{\infty } *\frac{x^{2n+1} }{(2n+1)!} = (-1)^{2n}*\gamma *cosh(x) + 1}*\gamma *sinh(x) \end{eqnarray*}$ .

Hoffe es zeigt jz richtig an...

07.05.2020, 14:46

AbelscherGrenzwert

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=> f(x) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=o}^{\infty } (-1)^{2n}*\frac{\gamma }{2n!} *x^{2n} + \sum\limits_{n=o}^{\infty } (-1)^{2n+1}*\frac{\gamma }{(2n+1)!} *x^{2n+1} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^{2n}*\gamma *\frac{x^{2n} }{(2n)!} + \sum\limits_{n=0}^{\infty } (-1)^{2n+1}*\gamma *\frac{x^{2n+1} }{(2n+1)!} = (-1)^{2n}*\gamma *\sum\limits_{n=0}^{\infty } *\frac{x^{2n} }{(2n)!} + (-1)^{2n+1}*\gamma *\sum\limits_{n=0}^{\infty } *\frac{x^{2n+1} }{(2n+1)!} = (-1)^{2n}*\gamma *cosh(x) + (-1)^{2n+1}*\gamma *sinh(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt aber, tut mir leid...

07.05.2020, 14:58

AbelscherGrenzwert

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Für mein $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ habe ich wenn ich ln(2) in mein gefundenes f setze $\begin{eqnarray*} \gamma = 2*(-1)^{-2n} \end{eqnarray*}$ und somit am Ende:
f(x) = 2cosh(x) - 2sinh(x)

Stimmt das und ist die Eindeutigkeit damit gezeigt?

07.05.2020, 18:25

Leopold

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Mit $\begin{align*} f(x) = 2 \cosh(x) - 2 \sinh(x) = 2 \operatorname{e}^{-x} \end{align*}$ ist 2. deiner Aufgabe nicht erfüllt.

Zitat:

Original von AbelscherGrenzwert
Aus deiner Antwort folger ich: $\begin{eqnarray*} a_{n} = (-1)^{n}*\frac{a_{0} }{n!} \end{eqnarray*}$

Richtig wäre

$\begin{align*} a_n = \begin{cases} - \frac{1}{n!}, & n \ \text{gerade} \\ \frac{\gamma}{n!}, & n \ \text{ungerade} \end{cases} \end{align*}$

Oder aufgeteilt nach gerade und ungerade, jeweils $\begin{align*} n \geq 0 \end{align*}$ :

$\begin{align*} a_{2n} = - \frac{1}{(2n)!} \, , \ \ a_{2n+1} = \frac{\gamma}{(2n+1)!} \end{align*}$

In deiner langen Rechnung hast du vom Summationsindex $\begin{align*} n \end{align*}$ abhängige Faktoren vor die Summe gezogen.
So etwas ist streng verboten (auch wenn bei $\begin{align*} (-1)^{2n}=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} (-1)^{2n+1}=-1 \end{align*}$ der Fehler sich nicht ausgewirkt hätte).
$\begin{align*} \gamma \end{align*}$ ist von $\begin{align*} n \end{align*}$ unabhängig, das darfst du vor die Summe ziehen.

Am besten nochmal von vorne mit den richtigen $\begin{align*} a_n \end{align*}$ . (Und in der Tat läuft es auf einen Term mit $\begin{align*} \cosh(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} \sinh(x) \end{align*}$ hinaus.)

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