Potenzreihe Konvergenz

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Phasma Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe Konvergenz
a) Bestimmen Sie die Menge der komplexen Zahlen , für die die Reihe konvergiert. Leiten Sie im Falle der Konvergenz einen möglichst einfachen Term für den Grenzwert her.

b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe .


Meine Ideen:
a) Die geometrische Reihe kann man doch auch im Komplexen durch , falls , berechnen, oder?

Ich würde dann die obige Reihe umschreiben: .

Diese konvergiert demzufolge, wenn ... Wie kann man das noch umformen?

Der Grenzwert wäre dann

.

Bin ich da auf dem richtigen Weg bzw. wie komme ich bei der Bestimmung der Menge der Zahlen, für die die Reihe konvergiert, weiter?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt so. In der Ungleichung kann man mit dem (positiven) Nenner multiplizieren und kommt auf |1 - z|>1, also z außerhalb der offenen Kreisscheibe um 1 mit Radius 1.
Phasma Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke für die Rückmeldung!

Zu b): Da würde ich die Darstellung verwenden. Dann haben wir

.

Die erste Reihe konvergiert, falls , die zweite, falls ?!

Irgendwie stecke ich hier fest. Stimmt das so weit/wie komme ich weiter?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist für jedes reelle , auch für , womit du deine Ungleichungen auf die Gestalt bringen kannst, da sich der komplexe Betrag mit der Multiplikation verträgt. Damit hättest du die Konvergenz der Reihe mindestens für . Aber könnte der Konvergenzradius nicht größer sein? Triviales Beispiel:

hat Konvergenzradius 1.
hat Konvergenzradius 1.
Die Summe der Reihen ist konstant 0 und hat den Konvergenzradius .

Vielleicht kann man direkt mit und Cauchy-Hadamard arbeiten. Aber was ist der größte Häufungspunkt von ? Der Ausdruck ist nach oben durch 1 beschränkt, also kann der Limes superior nicht größer als 1 sein. Aber ist er 1?
Die Frage ist, ob man für beliebig große einem Vielfachen von beliebig nahe kommt. Aus der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung von , also



gewinnt man, indem man in der jeweiligen Stufe abbricht:

, also


, also


, also


, also


Das habe ich einmal numerisch so berechnet. Vielleicht kann man daraus einen sauberen Beweis machen und eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen konstruieren mit . Ich bin aber kein Zahlentheorieexperte. Da wissen andere mehr.

Für eine Aufgabe im Examen scheint mir mein Vorschlag aber weit hergeholt. Vielleicht gibt es auch einfache Sätze, die besagen, daß die Menge dicht in liegt. Das würde ja auch helfen.

Hast du eigentlich keine Musterlösungen der Aufgaben, wenn du hier alte Examensaufgaben übst? Was sagen die denn gegebenenfalls?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ist man denn mit der Konvergenz für und der Schranke für den limsup nicht fertig?

Herrjeh, nein, natürlich nicht Forum Kloppe
Phasma Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführliche Antwort!!

Zitat:
Original von Leopold

Für eine Aufgabe im Examen scheint mir mein Vorschlag aber weit hergeholt. Vielleicht gibt es auch einfache Sätze, die besagen, daß die Menge dicht in liegt. Das würde ja auch helfen.

Hast du eigentlich keine Musterlösungen der Aufgaben, wenn du hier alte Examensaufgaben übst? Was sagen die denn gegebenenfalls?


Wenn es solche Sätze gäbe, dürfte man sie im Examen vermutlich nicht (ohne Beweis) benutzen, weil da nur die ganz grundlegenden und mit Namen bekannten Sätze "zitierfähig" sind...

Diese Aufgabe ist allerdings ausnahmsweise auch keine Examensaufgabe, sondern nur eine Übungsaufgabe. Da habe ich auch keine Lösung. Zu den Examensaufgaben habe ich teilweise schon Lösungen, die ich dann hinterher vergleichen kann. Oft kommen da nochmal andere Lösungswege/-ansätze zum Vorschein, als wir hier besprechen.

Zur Aufgabe: Deine Überlegungen konnte ich soweit nachvollziehen! Wie man das letztlich beweist, dass der größte Häufungspunkt von wirklich die 1 ist, weiß ich aber auch nicht.

EDIT @ URL: Könnte es nicht sein, dass der limsup z.B. 0,5 ist, und der Konvergenzradius dementsprechend nach Cauchy-Hadamard 2?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wer sucht, der findet, und HAL 9000 hat immer wieder gute Ideen (erst ansehen, wenn weiteres Nachdenken und Probieren nichts hilft) : https://www.matheboard.de/archive/577337/thread.html
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, es wird ja noch die n-te Wurzel gezogen. Man muß sich also immer noch ein paar Gedanken machen, aber nicht mehr so gewaltig viele.

Unabhängig davon würde es mich interessieren, ob die Menge der dicht in liegt. Mein ganzes Mathematik-Gefühl sagt: Ja, klar! Aber was sind schon Gefühle …

(Und gerade habe ich das getippt, als ich noch einmal bei HAL hängengeblieben bin (siehe Link von Elvis), wo er mit Hilfe des Dirichletschen Approximationssatzes nachweist. Scheint also nicht ganz trivial zu sein.)
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