Partialbruchzerlegung bei komplexen Nennernullstellen

07.05.2020, 18:30

funfan

Partialbruchzerlegung bei komplexen Nennernullstellen

Meine Frage:
Ich würde gerne wissen, wie die Herleitung zum Partialbruchansatz bei komplexen Nennernullstellen ist. Der Quotient zweier Polynome (Grad p < Grad q) kann dann wie folgt zerlegt werden:
[latex]\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(x)}{(ax^2+bx+c)^nw(x)}=\frac{u(x)}{(ax2+bx+c)^n}+\frac{v(x)}{w(x)}[\latex]

Meine Ideen:
Ich habe herausgefunden, dass der linke Bruch auf der rechten Seite wie folgt darstellbar sein müsste:
[latex]\frac{u(x)}{(ax^2+bx+c)^n}=\sum_{k=0}^m\frac{A_kx+B_k}{(ax^2+bx+c)^k}[\latex]
Wenn mir jemand den Ansatz erklären würde, wäre ich sehr dankbar!

07.05.2020, 18:33

Leopold

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RE: Partialbruchzerlegung bei komplexen Nennernullstellen

Zitat:

Original von funfan
Meine Frage:
Ich würde gerne wissen, wie die Herleitung zum Partialbruchansatz bei komplexen Nennernullstellen ist. Der Quotient zweier Polynome (Grad p < Grad q) kann dann wie folgt zerlegt werden:
$\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(x)}{(ax^2+bx+c)^nw(x)}=\frac{u(x)}{(ax2+bx+c)^n}+\frac{v(x)}{w(x)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe herausgefunden, dass der linke Bruch auf der rechten Seite wie folgt darstellbar sein müsste:
$\begin{eqnarray*} \frac{u(x)}{(ax^2+bx+c)^n}=\sum_{k=0}^m\frac{A_kx+B_k}{(ax^2+bx+c)^k} \end{eqnarray*}$
Wenn mir jemand den Ansatz erklären würde, wäre ich sehr dankbar!

Für dich korrigiert. Bitte bei latex die abschließende Klammer [] mit / einleiten, nicht mit \.

07.05.2020, 21:22

HAL 9000

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@funfan

Eine Frage: Wird diese PBZ benötigt, um anschließend eine Integration dieser Funktion durchzuführen? In diesem Fall würde ich (zumindest im Fall $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ ) einen anderen Weg als den einer kompletten PBZ

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{u(x)}{(ax^2+bx+c)^n} = \sum_{k=0}^n\frac{A_kx+B_k}{(ax^2+bx+c)^k} \end{eqnarray*}$

vorschlagen. Der Grund ist, dass die Summanden rechts im Fall $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ ihrerseits ziemlich mühsam zu integrieren sind, und je größer $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist, umso schlimmer wird der Aufwand.

Aber gut, zunächst zu deinem Originalproblem:

Zitat:

Original von funfan
Ich habe herausgefunden, dass der linke Bruch auf der rechten Seite wie folgt darstellbar sein müsste:
$\begin{eqnarray*} \frac{u(x)}{(ax^2+bx+c)^n}=\sum_{k=0}^n\frac{A_kx+B_k}{(ax^2+bx+c)^k} \end{eqnarray*}$

Führe eine Polynomdivision von $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \left(ax^2+bx+c\right) \end{eqnarray*}$ aus, das Ergebnis möge das Polynom $\begin{eqnarray*} \tilde{u}(x) \end{eqnarray*}$ mit Rest $\begin{eqnarray*} \tilde{A}x+\tilde{B} \end{eqnarray*}$ sein. Setzen wir das mal ein, dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{u(x)}{\left(ax^2+bx+c\right)^n} = \frac{\left(ax^2+bx+c\right)\tilde{u}(x)+\tilde{A}x+\tilde{B}}{\left(ax^2+bx+c\right)^n} = \frac{\tilde{u}(x)}{\left(ax^2+bx+c\right)^{n-1}} + \frac{\tilde{A}x+\tilde{B}}{\left(ax^2+bx+c\right)^n} \end{eqnarray*}$

D.h., wenn man nun auf $\begin{eqnarray*} \tilde{u}(x) \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung anwendet und $\begin{eqnarray*} A_n=\tilde{A} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} B_n=\tilde{B} \end{eqnarray*}$ setzt, dann ist der Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} (n-1)\to n \end{eqnarray*}$ schon vollbracht...

08.05.2020, 17:32

funfan

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Polynomdivision
Ich danke dir!

Aber wie kann man sagen, dass der Rest der Polynomdivision eine lineare Funktion ist? Wenn man
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-x_0)g(x)+f(x_0) \end{eqnarray*}$
zweimal hintereinander anwendet, kommt man auf den Beweis, jedoch muss es dann auch zwei reelle Nullstellen geben. Da es aber keine reellen Nullstellen gibt, geht das doch nicht oder?

08.05.2020, 22:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von funfan
Aber wie kann man sagen, dass der Rest der Polynomdivision eine lineare Funktion ist?

Bei Polynomdivision durch ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ist der Rest ein Polynom maximal $\begin{eqnarray*} (m-1) \end{eqnarray*}$ -ten Grades, ansonsten hat man was falsch gemacht, d.h., die Division noch nicht komplett ausgeführt. Augenzwinkern

Beim vorliegenden $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} m=2 \end{eqnarray*}$ , und damit ...

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