Grenzwertberechnungen

07.05.2020, 20:02

bunny22

Grenzwertberechnungen

Meine Frage:
Guten Abend alle zusammen. Ich habe es mit der folgenden Aufgabe zu tun (siehe Bild).

Meine Ideen:
Zu der a) Ich denke mal ja, wegen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(a_n(1)+...+ a_n(\infty ) \right) \end{eqnarray*}$ , da alle Grenzwerte existieren folgt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n(1)+...+ \lim_{n \to \infty } a_n(\infty ) \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.
Stimmt das so ?

07.05.2020, 23:07

bunny22

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RE: Grenzwertberechnungen
Keiner eine Idee?

08.05.2020, 13:03

bunny22

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RE: Grenzwertberechnungen
Ich habe in der Lösung geschaut und da steht, dass für die a) und b) nicht stimmt. Man solle sich

$\begin{eqnarray*} a_n(k)=\frac{1}{k^2*n} \end{eqnarray*}$ anschauen.

Ich komme trotzdem auf das gleiche Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^2*n} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left( \lim_{l \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^2} \right) =\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \frac{\pi^2}{6} =0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \lim_{n \to \infty } \frac{1}{k^2*n} = \sum\limits_{k=1}^{\infty } 0=0 \end{eqnarray*}$ .

Was mache ich falsch ?

08.05.2020, 13:54

Bunny22

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RE: Grenzwertberechnungen
Kann mir keiner helfen ? :/

08.05.2020, 14:36

Leopold

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Die Formulierung bei b) und c) läßt darauf schließen, daß a) im allgemeinen nicht richtig ist. Ich würde daher nach einem Gegenbeispiel Ausschau halten.

Bei d) könnte man folgendermaßen rechnen:

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{n-k}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^{n-1} \left( 1 - \frac{k}{n} \right)^n \end{align*}$

Das Summenglied zuletzt strebt bei festem $\begin{align*} k \end{align*}$ und $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ gegen $\begin{align*} \operatorname{e}^{-k} \end{align*}$ .

Jetzt der Grenzübergang $\begin{align*} n \to \infty \end{align*}$ . Wir schließen rücksichtlos:

$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \operatorname{e}^{-k} \end{align*}$

Und wir haben die Form einer geometrischen Reihe.
Der letzte Schluß ist unter normalen Umständen eine Unverschämtheit und bedarf natürlich der Begründung. Es wird etwas mit den Aufgabenteilen davor zu tun haben. (Eine numerische Überprüfung spricht für die Richtigkeit des Ergebnisses).

EDIT
Und meine "geniale Umformung" steht ja auch in deinem zweiten Scan als Vorschlag. Den hatte ich zuvor gar nicht wahrgenommen.

08.05.2020, 14:39

bunny22

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RE: Grenzwertberechnungen

Zitat:

Original von bunny22
Ich habe in der Lösung geschaut und da steht, dass für die a) und b) nicht stimmt. Man solle sich

$\begin{eqnarray*} a_n(k)=\frac{1}{k^2*n} \end{eqnarray*}$ anschauen.

Ich komme trotzdem auf das gleiche Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^2*n} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left( \lim_{l \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^2} \right) =\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \frac{\pi^2}{6} =0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \lim_{n \to \infty } \frac{1}{k^2*n} = \sum\limits_{k=1}^{\infty } 0=0 \end{eqnarray*}$ .

Was mache ich falsch ?

Für die a) und b) habe ich diesen Ansatz. Bzw. aus der Lösung, aber komme leider nicht weiter.

08.05.2020, 21:11

Nils Hoppenstedt

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RE: Grenzwertberechnungen

Zitat:

Original von bunny22
Was mache ich falsch ?

Ich kann keinen Fehler entdecken. Dieses Beispiel ist imho unpassend.

Aber wie wäre es mit diesem Gegenbeispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} a_n(k) = 1 \end{eqnarray*}$ falls k = n und $\begin{eqnarray*} a_n(k) = 0 \end{eqnarray*}$ sonst.

Dann gilt für den ersten Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{\infty } a_n(k) = \lim_{n \to \infty } 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Und für den 2. Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \lim_{n \to \infty } a_n(k) = \sum\limits_{k=1}^{\infty } 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße,
Nils

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