Positive ganze Zahlen

07.05.2020, 20:46

Fresmo

Positive ganze Zahlen

Meine Frage:
Ich sitze gerade an der Matheolympiade aufgabe 441321 und die Rede ist von positiven ganzen Zahlen. Sind damit alle ganzen Zahlen großer 0 gemeint oder ist die 0 enthalten

Meine Ideen:
Ich denke die 0 ist nicht enthalten

07.05.2020, 20:55

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei reellen (und damit auch ganzen) Zahlen bedeutet positiiv
$\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ .
0 gehört nicht dazu

07.05.2020, 21:15

Fresmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung der Aufgabe b wäre ja dann $\begin{eqnarray*} 2008008 \end{eqnarray*}$
oder?

Die Aufgabe lautet: "Man ermittle, wie viele ganze Zahlen n zwischen 1 und 2005·2005 eine solche Darstellung
besitzen." Wobei $\begin{eqnarray*} n=(a+b)^{2}+a-b \end{eqnarray*}$ für ganze positive ganze Zahlen a und b.

07.05.2020, 21:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Formulierung ist gerade bei Olympiadeaufgaben häufig anzutreffen, erst recht bei den internationalen:

Der Grund dafür ist, dass sich keine einheitliche Auffassung durchgesetzt hat, was man unter "natürliche Zahlen" versteht: Die einen zählen die Null dazu, die anderen nicht.

Daher ist es klarer und unmissverständlich, wenn man von "positiven ganzen Zahlen" (ohne Null) bzw. "nichtnegativen ganzen Zahlen" (mit Null) spricht.

07.05.2020, 22:04

Fresmo

Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal 9000 das ergibt natürlich Sinn. Ist mein Ergebnis korrekt?

07.05.2020, 22:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist es (musste erstmal nachrechnen). Ohne Begründung ist diese Zahl allein natürlich nicht viel wert.

08.05.2020, 00:00

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich das sehe, beschreibt die Gleichung für n nur gerade Zahlen.

Jeweils k-1 gerade Zahlen g:

$\begin{eqnarray*} k \ge 2: \;k(k-1)+2 \le g \le k(k+1)-2 \end{eqnarray*}$

08.05.2020, 11:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es: Die Substitution $\begin{eqnarray*} k=a+b \end{eqnarray*}$ überführt den Parameterraum $\begin{eqnarray*} a\geq 1,b\geq 1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} k\geq 2,1\leq a\leq k-1 \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} n = k^2 + a - (k-a) = k(k-1)+2a \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} k(k-1) \end{eqnarray*}$ immer gerade ist, ist auch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ immer gerade, und die Einschränkung $\begin{eqnarray*} 1\leq a\leq k-1 \end{eqnarray*}$ bewirkt das von dir erwähnte

Zitat:

Original von Luftikus
$\begin{eqnarray*} k \ge 2: \;k(k-1)+2 \le g \le k(k+1)-2 \end{eqnarray*}$

Damit kann man alle geraden positiven ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ außer die der Gestalt $\begin{eqnarray*} k(k-1) \end{eqnarray*}$ so darstellen. Jetzt muss man nur noch richtig zählen, wie viele davon $\begin{eqnarray*} \leq 2005^2 \end{eqnarray*}$ sind.

08.05.2020, 11:47

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei ich ja kürzlich gelesen habe, dass die Konvention für positiv / nicht-negativ in manchen Sprachen wie Französisch nicht mit unserer Konvention übereinstimmt - das müsste man also bei der wörtlichen Übersetzung in andere Sprachen beachten. Im Englischen ist es aber wie im Deutschen.

(Fun Fact)

08.05.2020, 11:56

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Bin des französischen nicht mächtig, daher ist die Information für mich neu und auch überraschend, dass die Franzosen die Null für eine positive Zahl halten - wenn es denn stimmt. verwirrt

08.05.2020, 12:16

Fragen über Fragen

Auf diesen Beitrag antworten »

Davon kann man sich leicht überzeugen, indem man die Wikipedia-Seite für "positive number" o.ä. aufruft und dann die Artikelsprache ändert.

Fürs Französische kommt das raus: https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_positif

Zitat:
x est positif s'écrit en notation mathématique $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$
x est strictement positif s'écrit $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ .

Unser "positiv" heißt bei denen also "strikt positiv".

08.05.2020, 12:34

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, so geht das! Wenn die Franzosen nach Brüssel 0-Wachstum melden, ist es nicht so schlimm, wie wenn wir das tun. Bei den Franzosen ist's immer noch ein wenig positiver.

Die ungeheuerlichen Staatsschulden der USA werden immer noch ein wenig ungeheuerlicher, wenn man die amerikanischen Billionen zu deutschen Billionen macht.

08.05.2020, 13:07

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nullen, wohin man blickt
Stell dir aber mal umgekehrt vor, ihre "24 trillion debts" wären tatsächlich deutsche Trillionen. Das macht dann ca. 80 Mrd für jeden der rd. 300 Mio Amerikaner. Augenzwinkern

08.05.2020, 13:24

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Nullen, wohin man blickt

Zitat:

Original von HAL 9000
Stell dir aber mal umgekehrt vor

Irgendwie verstehe ich jetzt hier "umgekehrt" nicht. Das entspricht doch genau dem, was ich sagen wollte. Reden wir in 10er-Potenzen:

Staatsschulden USA = $\begin{align*} 24 \cdot 10^{12} \end{align*}$ US-Dollar

Die deutsche Falschübersetzung macht daraus

Staatsschulden USA (falsch) = $\begin{align*} 24 \cdot 10^{18} \end{align*}$ US-Dollar

Zum ersten sagen die Amerikaner 24 trillions, zum zweiten sagen die Deutschen 24 Trillionen.

08.05.2020, 13:26

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Damit kann man alle geraden positiven ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ außer die der Gestalt $\begin{eqnarray*} k(k-1) \end{eqnarray*}$ so darstellen. Jetzt muss man nur noch richtig zählen, wie viele davon $\begin{eqnarray*} \leq 2005^2 \end{eqnarray*}$ sind.

Das ist aber nun kein Problem mehr.
Der komplette Lösungsweg..

Substitution mit neuen Variablen:

$\begin{eqnarray*} u:=a+b, \; v:=a-b \end{eqnarray*}$

Man erhält:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{u+v}{2}, \; b=\frac{u-v}{2}, \; {^{(*)}} \; n=u^2+v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow {n \; ist \; gerade} \; {(u,v \; gerade/ungerade)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow -(u-2) \le v \le +(u-2), \; u \ge 2, \; {da} \; a>0, \; b>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {^{(*)}} \rightarrow u(u-1)+2 \le n \le u(u+1)-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \#{n}=\frac{(u(u+1)-2) - (u(u-1)+2)}{2} + 1 = u-1 \end{eqnarray*}$

Zur Lösung der Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} u^2+u-2=2005^2 \rightarrow \; \lfloor u \rfloor=2004 \end{eqnarray*}$

Summe der Anzahl der 2004 Zahlengruppen je u-1 + Differenz n zu Start nachster Gruppe:

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \#n_{(2005^2)}=\frac{2003 \cdot 2004}{2}+\frac{2005^2-(2005 \cdot 2004+2)+1}{2}=2008008 \end{eqnarray*}$

08.05.2020, 13:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist sogar ein wenig lang geraten. Wenn ich an das anknüpfe, was ich oben gerechnet habe, dann zählt man einfach die $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k(k-1)\leq 2005^2 \end{eqnarray*}$ , das bedeutet offenbar $\begin{eqnarray*} k\leq 2005 \end{eqnarray*}$ , das sind also 2004 Stück. Die zieht man von der Gesamtzahl der geraden Zahlen $\begin{eqnarray*} \leq 2005^2 \end{eqnarray*}$ ab, das macht

$\begin{eqnarray*} \frac{2005^2-1}{2}-2004 = 2004\cdot \frac{2006}{2}-2004 = 2004\cdot 1002 = 2008008 \end{eqnarray*}$ .

@Leopold

Ja, ich hab deinen Beitrag wohl etwas oberflächlich gelesen und bei "amerikanischen Billionen" gedacht: Das ist aber nicht ganz die passende Maßeinheit für die USA-Schulden. Zumal in dieser Rechnung "24000 billion" bei europäischer Fehlinterpretation nur drei Nullen hinzukommen statt der sechs Nullen bei der Fehlinterpretation von "24 trillion". Streich also das "umgekehrt" und ersetze es durch "sogar". smile

Neue Frage »

Antworten »

Positive ganze Zahlen

Verwandte Themen