Teiler Relation Boolesche Algebra?

08.05.2020, 11:00	dohx	Auf diesen Beitrag antworten »
Teiler Relation Boolesche Algebra? Hallo liebe Community, ich hoffe Ihr könnt mir wieder einmal bei einen Problem Helfen. Und zwar soll ich Zeigen das Teiler 105 eine Boolesche Algebra ist. Dazu muss ich nachweisen das es ein Verband ist, dies würde ich sagen ist. Da Teiler den KGV und GGT hat. Definition ist es muss eine geordnete endliche Menge sein bei der die Funktionen Infimum und Supremum vollständig definiert sind. Ich muss aber auch nachweisen das es ein beschränkter und distributiver Verband ist. Schon bei beschränkt hört es auf. Da wir das wie folgt definiert haben: Infimum(x,y) = 1 bei diesen Beispiel 105 und Supremum (x,y) = 0 hier 1. Die Teiler von 105 sind 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105. Wenn ich mir jetzt ein x und y aus der Menge nehme sagen wir mal 21 und 7. Ist der KGV also das Infimum 21 und das Supremum 7. Haut bei mir nicht hin das es ein beschränkter Verband ist, aber laut Aufgabenstellung soll es so sein was mache ich falsch?
08.05.2020, 11:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du inf und sup verwechselt ? Mit booleschem Verband habe ich keine Probleme, aber boolesche Algebra ? Braucht man da nicht ein Nullelement ? 0 ist ja kein Teiler von 105, also woher nehmen ? Kannst du zur Aufklärung beitragen, indem du deine Definitionen zur Verfügung stellst ?
08.05.2020, 12:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, es ist so: Die zugrunde liegende Menge $\begin{align} T \end{align}$ ist die Menge der positiven Teiler von $\begin{align} 105 \end{align}$ . Im Folgenden sind $\begin{align} a,b \in T \end{align}$ . Die Operation $\begin{align} \vee \end{align}$ entspricht dem $\begin{align} \operatorname{kgV} \end{align}$ , also $\begin{align} a \vee b = \operatorname{kgV}(a,b) \end{align}$ . Die Operation $\begin{align} \wedge \end{align}$ entspricht dem $\begin{align} \operatorname{ggT} \end{align}$ , also $\begin{align} a \wedge b = \operatorname{ggT}(a,b) \end{align}$ . Die Halbordnung $\begin{align} \preceq \end{align}$ wird definiert durch $\begin{align} a \preceq b \ \ \Leftrightarrow \ \ a \wedge b = a \ \ \Leftrightarrow \ \ a \mid b \end{align}$ Das neutrale Element von $\begin{align} \vee \end{align}$ , abstrakt das Nullelement, wäre hier $\begin{align} 1 \end{align}$ , denn $\begin{align} a \vee 1 = a \end{align}$ für alle $\begin{align} a \end{align}$ (das ist etwas verwirrend). Das neutrale Element von $\begin{align} \wedge \end{align}$ , abstrakt das Einselement, wäre hier $\begin{align} 105 \end{align}$ , denn $\begin{align} a \wedge 105 = a \end{align}$ für alle $\begin{align} a \end{align}$ . Bezüglich der Halbordnung $\begin{align} \preceq \end{align}$ ist $\begin{align} 1 \end{align}$ das kleinste aller Elemente, denn $\begin{align} 1 \mid a \end{align}$ für alle $\begin{align} a \end{align}$ . Und 105 ist das größte, denn $\begin{align} a \mid 105 \end{align}$ für alle $\begin{align} a \end{align}$ . Damit ist der Verband nach oben und nach unten beschränkt. So müßte es wohl sein. Ohne Gewähr. Wegen $\begin{align} 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \end{align}$ (Produkt dreier verschiedener Primzahlen) und $\begin{align} 105 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \end{align}$ (ebenso), sollten die Teilerverbände von 30 und 105 dieselbe Struktur besitzen, mithin isomorph sein. Das Hasse-Diagramm für 30 findet man im Wikipedia-Artikel.

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