Komplexe Reihen auf Konvergenz/absolute Konvergenz untersuchen

08.05.2020, 14:08

Susanno95

Komplexe Reihen auf Konvergenz/absolute Konvergenz untersuchen

Guten Tag zusammen,
ich solle in Funktionentheorie folgende Reihen auf Konvergenz und auf absolute Konvergenz untersuchen:

(i) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{2^n+i^n}{n!} \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{i^n}{n} \end{eqnarray*}$

(iii) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(1+i)^n}{n^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen waren jetzt folgende:
Als erstes muss man doch die Summe in Real- und Imaginärteil aufspalten und dann einzelnd auf (absolute) Konvergenz untersuchen, es reicht doch zuerst die absolute Konvergenz zu untersuchen oder? weil daruas ja wenn die Reihe absolut Konvergiert ja auch normal konvergiert oder hab ich das falsch in Erinnerung?

zu (i) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2^n+i^n}{n!} = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2^n}{n!} + \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{i^n}{n!} \Rightarrow Quotientenkriterium für Realteil \limsup (n\Rightarrow \infty)| \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!} }{\frac{2^n}{n!} }| = \limsup (n\Rightarrow \infty) | \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \frac{n!}{2^n} | = \limsup (n\Rightarrow \infty) | \frac{2}{n+1} |= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Quotientenkriterium für Imaginärteil \limsup (n\Rightarrow \infty)| \frac{\frac{i^{n+1}}{(n+1)!} }{\frac{i^n}{n!} }| = \limsup (n\Rightarrow \infty) | \frac{i^{n+1}}{(n+1)!} \frac{n!}{i^n} |= \limsup (n\Rightarrow \infty) | \frac{i}{n+1} | = \limsup (n\Rightarrow \infty) | \frac{1}{n+1} | = 0 \end{eqnarray*}$

also da kleiner 1 konvergieren sie Absolut und somit auch normal also die ganze reihe Konvergiert??

zu (ii) Muss ich dort auch vier Fallunterscheidungen machen? konvergiert das dann überhaupt? da mann ja vier Verschiedene werte rauskriegt?

zu (iii) Wurzelkriterium anwenden?
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{ |\frac{(1+i)^n}{n^2}| } = | \frac{1+i}{n^(2/n)} | = ... \end{eqnarray*}$

Bin für anregungen und Bemerkungen dankbar

08.05.2020, 16:07

HAL 9000

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Ja, (i) ist richtig.

Bei (ii) erkennt man, dass sowohl Real- als auch Imaginärteil nach Leibnizkriterium konvergieren. Absolute Konvergenz liegt nicht vor.

(iii) Ja, Wurzelkriterium, bzw. Quotientenkriterium sind auch möglich.

P.S.: Die Reihenwerte bei (i) und (ii) sind übrigens

(i) $\begin{eqnarray*} e^2-1 + e^i-1 = e^2 + \cos(1)-2 + i\sin(1) \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} -ln(1-i) = -\frac{\ln(2)}{2} + \frac{\pi}{4}i \end{eqnarray*}$

08.05.2020, 16:27

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ja, (i) ist richtig.

Die Begründung zu (i) ist meiner Meinung nach nicht richtig. Denn

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2^n+i^n}{n!} = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{2^n}{n!} + \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{i^n}{n!} \end{eqnarray*}$

die Summen auf der rechten Seite sind nicht gleich dem Real- und dem Imaginärteil der linken Seite. i $\begin{eqnarray*} ^n \end{eqnarray*}$ kann ja auch reell werden. Da aber die beiden Reihen auf der rechten Seite konvergieren, konvergiert auch die Reihe auf der linken Seite und ist gleich der Summe der Reihen auf der rechten Seite.

08.05.2020, 16:53

HAL 9000

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Den Begleittext dazu habe ich nicht so genau durchgelesen, das stimmt. Den Formeln nach weist sie die absolute Konvergenz beider komplexer Teilreihen nach, zumindest so stimmt es.

24.03.2023, 14:26

NewMathematiker95

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Hallo zusammen, erstmal sorry das ich den Threat nochmal öffne...

habe die (i i i ) als Aufgabe , wenn ich jetzt erstmal nur Umforme ohne Limsup hinschreibe, habe ich
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{| \frac{(1+i)^n}{n^2}| } =\frac{| 1+i| }{\sqrt[n]{n}^2} = \frac{\sqrt{2} }{\sqrt[n]{n}^2} \end{eqnarray*}$ wenn ich jetzt n gegen unendlich laufen lasse erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt2}{1^2}=\sqrt2 \end{eqnarray*}$ also größer 1 also Divergent richtig?

Bei der (ii) hätte ich nochmal ne Verständnisfrage kann ich
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\inf} \frac{i^n}{n} \end{eqnarray*}$
aufspalten in einen Realteil und imaginärteil? für n=2k wäre das i^n ja immer Reell und für n=2k+1immer imaginär

25.03.2023, 19:04

Leopold

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Das kannst du. Dann erhältst du auf andere Art das von HAL angegebene Ergebnis.

25.03.2023, 19:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von NewMathematiker95
das ich den Threat nochmal öffne...

Hmm, siehst du diese Reihen wirklich als so bedrohlich an? verwirrt

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