Komplexe Reihen auf Konvergenz/absolute Konvergenz untersuchen

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Susanno95 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Reihen auf Konvergenz/absolute Konvergenz untersuchen
Guten Tag zusammen,
ich solle in Funktionentheorie folgende Reihen auf Konvergenz und auf absolute Konvergenz untersuchen:

(i)

(ii)

(iii)


Meine Ideen waren jetzt folgende:
Als erstes muss man doch die Summe in Real- und Imaginärteil aufspalten und dann einzelnd auf (absolute) Konvergenz untersuchen, es reicht doch zuerst die absolute Konvergenz zu untersuchen oder? weil daruas ja wenn die Reihe absolut Konvergiert ja auch normal konvergiert oder hab ich das falsch in Erinnerung?

zu (i)



also da kleiner 1 konvergieren sie Absolut und somit auch normal also die ganze reihe Konvergiert??







zu (ii) Muss ich dort auch vier Fallunterscheidungen machen? konvergiert das dann überhaupt? da mann ja vier Verschiedene werte rauskriegt?

zu (iii) Wurzelkriterium anwenden?





Bin für anregungen und Bemerkungen dankbar
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, (i) ist richtig.

Bei (ii) erkennt man, dass sowohl Real- als auch Imaginärteil nach Leibnizkriterium konvergieren. Absolute Konvergenz liegt nicht vor.

(iii) Ja, Wurzelkriterium, bzw. Quotientenkriterium sind auch möglich.


P.S.: Die Reihenwerte bei (i) und (ii) sind übrigens

(i)

(ii)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ja, (i) ist richtig.

Die Begründung zu (i) ist meiner Meinung nach nicht richtig. Denn

Zitat:

die Summen auf der rechten Seite sind nicht gleich dem Real- und dem Imaginärteil der linken Seite. i kann ja auch reell werden. Da aber die beiden Reihen auf der rechten Seite konvergieren, konvergiert auch die Reihe auf der linken Seite und ist gleich der Summe der Reihen auf der rechten Seite.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Begleittext dazu habe ich nicht so genau durchgelesen, das stimmt. Den Formeln nach weist sie die absolute Konvergenz beider komplexer Teilreihen nach, zumindest so stimmt es.
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