Homöomorphismus zwischen Einheitskreisscheiben

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silenceofthreeparts Auf diesen Beitrag antworten »
Homöomorphismus zwischen Einheitskreisscheiben
Ich soll folgendes zeigen oder widerlegen:

X = {x: ||x||<1} ist homöomorph zu X{1}.

Ich denke mir, dass die beiden Räume nicht homöomorph sind. Denn nehme ich die 1 aus X{1} heraus, erhalte ich einen Raum ohne Loch. Aus X kann ich jedoch kein Element herausnehmen, ohne ein Loch zu erzeugen. Ich weiß nicht, ob diese eher lockere Überlegung mathematisch hält. Wir haben noch nicht die "Anzahl an Löchern" in Räumen behandelt.

Jedenfalls fällt es mir nun schwer, eine stichfeste Argumentation zu finden. Ich dachte mir auch, dass ich es vielleicht mit der (lokalen) Kompaktheit angehen könnte, habe hier aber keinen Ansatz.

Kann mir jemand helfen? smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird sehr schwierig sein, einen Homöomorphismus einer offenen Menge auf eine nichtoffene Menge zu finden, denn Homöomorphismen sind offene Abbildungen, d.h. das Bild jeder offenen Menge ist eine offene Menge.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Interessanter wird es natürlich, wenn beide Mengen die natürlich Teilraumtopologie von erben. Ich hätte auch direkt über Fundamentalgruppen (Löcher zählen) argumentiert.

Da ich auch keine direkte Idee habe: Falls ein Homöomorphismus ist, so kann man sich anschauen. Und die Umgebungen darum mit den Umgebungen von vergleichen.

Hier würde ich eine geometrische Argumentation erwarten, dass der Punkt "vollständig" von anderen Elementen in umgeben ist und viel "weniger" Nachbarn hat.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte, ich hätte schon alles wesentliche gesagt. Wenn es einen Homöomorphismus gäbe, so wäre er offen, wegen offen also auch offen. Weil ein Randpunkt von ist, ist nicht offen. Widerspruch.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Sorte von Randpunkt meinst du? Im Sinne der Topologie von ist kein Randpunkt. Natürlich ist dann ein Randpunkt, wenn man als Teilmenge des topologischen Raums betrachtet. Ich denke, hier muß man höllisch aufpassen.
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