Operator mit Ableitung

08.05.2020, 19:12

Nerdno1

Operator mit Ableitung

Meine Frage:
Ich verstehe nicht, wie ich hier vorgehen muss. Der Hinweis hat leider auch nicht geholfen. Wie soll ich das denn so darstellen?

Meine Ideen:
Kann jemand weiterhelfen?

08.05.2020, 21:37

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RE: Operator mit Ableitung
Ich tippe auf Polynominterpolation. Wobei das für Teil b) nicht sehr handlich ist geschockt

09.05.2020, 06:34

IfindU

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RE: Operator mit Ableitung
Der Punkt ist hier der kleine Raum auf dem der lineare Operator $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ definiert wurde.

In a) soll man zeigen, dass der Wert $\begin{eqnarray*} p'(1) \end{eqnarray*}$ für ein Polynom zweiten Grades auch vom Werten des Polynoms direkt (ohne Nutzung einer Ableitung) berechnet werden kann.

D.h. sei $\begin{eqnarray*} p(x) = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$ . Dann sind $\begin{eqnarray*} p'(1) = 2a + b \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} p(-1) = a - b +c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(0) = c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(1) = a + b + c \end{eqnarray*}$ .

Nun will man für generische $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} p'(1) \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der anderen Darstellen. Also sucht man $\begin{eqnarray*} \lambda_{-1}, \lambda_0, \lambda_1 \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} 2a + b = \lambda_{-1} ( a - b +c) + \lambda_0 \cdot c + \lambda_1 (a + b + c) \end{eqnarray*}$ .

Sobald man das hat, hat man den Operator $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ohne Ableitung dargestellt und Aufgabe a) ist praktisch gelöst.

b) Hier ist $\begin{eqnarray*} p'(1) = \lvert 2a + b \rvert \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} \max_x \lvert ax^2 + bx + c \rvert \end{eqnarray*}$ zu optimieren. Hier hilft es, dass es entweder ein Extrempunkt im inneren ist (siehe Ableitung) oder ein Randpunkt ist.

c) Ab hier ist Polynominterpolation eine tolle Idee. Hier ist nur noch wenig zu zeigen.

09.05.2020, 18:18

nerdno1

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RE: Operator mit Ableitung
zu a) mit »_1=1, »_0=-1,»_1=0 folgt dann p'(1)=p(1)-p(0)
ist linear, weil Komposition von linearen Funktionen und stetig, weil p aus C[-1,1].
wäre doch korrekt so oder?

zu b) wie soll ich hier vorgehen? es ist ja dann nicht abhängig von x, sondern nur von abs(2a+b)? Habe jetzt das mal null gesetzt und a=-b/2 in das Maximum eingesetzt, darum ergibt sich dann für das Maximum abs(x^2-2x-2c/b) für x aus [-1,1] für x=1 abs(3-2c/b). Das hilft das jetzt die Berechnung der Operatornorm wenig oder?

zu c) habe gar kein Ansatz wie ich dieses Funktional finden soll?

09.05.2020, 18:33

IfindU

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RE: Operator mit Ableitung
$\begin{eqnarray*} p'(1) = 2a + b \end{eqnarray*}$ während $\begin{eqnarray*} p(1) - p(0) = a + b \end{eqnarray*}$ . Ist also nicht ganz das gleiche.

Linearität kannst du direkt mit der Definition zeigen. Dazu zeige $\begin{eqnarray*} A(p + q) = Ap + Aq \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A(\lambda p) = \lambda Ap \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

b) Hier ist $\begin{eqnarray*} |p'(1)| = \lvert 2a + b \rvert \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} \max_x \lvert ax^2 + bx + c \rvert \end{eqnarray*}$ zu optimieren

.
Hier meinte ich $\begin{eqnarray*} \max_x \lvert ax^2 + bx + c \rvert \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Das Ziel hier ist Bedingungen für $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ herzuleiten, so dass man $\begin{eqnarray*} |p'(1)| \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen kann. Den höchsten Wert denn $\begin{eqnarray*} |A(p)| = |p'(1)| \end{eqnarray*}$ annehmen kann, solange $\begin{eqnarray*} \| p\|_\infty \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist, ist die Operatornorm. Das habe ich nur etwas umgeschrieben.

c) Wenn du a) korrekt ausrechnest, hast du ein lineares Funktional, was für alle stetigen Funktionen definiert ist.

09.05.2020, 19:46

nerdno1

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RE: Operator mit Ableitung
ja klar, so jetzt aber a)
p'(1)=1/2*p(-1) - 2*p(0) + 3/2*p(1)
Linearität konnte ich jetzt zeigen.

zu b):
l p'(1) l = l 2a+b l <= l 2a+2b+2c l <= 2 * l a +b +c l <= 2*1 = 2
wäre das ok so? Aus dem ersten konnte ich für a,b,c keine Bedingungen ableiten

09.05.2020, 20:24

IfindU

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RE: Operator mit Ableitung
Das erste passt. Das zweite ist falsch. Du nimmst an $\begin{eqnarray*} |p(1)| \end{eqnarray*}$ ist der größte Wert des Polynoms.

Beim zweiten habe ich lange gerechnet und gemerkt, dass ich mir das Leben zu schwer gemacht habe.

Du hast $\begin{eqnarray*} p'(1) = \frac 1 2 p(-1) - 2 p(0) + \frac 3 2 p(1) \end{eqnarray*}$ .

Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} |p| \leq 1 \end{eqnarray*}$ überall ist, d.h. du kannst $\begin{eqnarray*} |p(-1)| \leq 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} |p(0)| \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |p(1)| \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Mit der Dreiecksungleichung bekommst du dann eine obere Schranke.

Jetzt musst du nur noch ein Polynom konstruieren, das überall im Betrag kleinergleich 1 ist und mit $\begin{eqnarray*} p'(1) = \text{obere Schranke} \end{eqnarray*}$ . Dann hast du gezeigt, dass die Operatornorm wirklich diesem Wert entspricht.

09.05.2020, 20:49

nerdno1

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RE: Operator mit Ableitung
aha, das ist mir entgangen. dann habe ich als operatornorm 3 ausgerechnet.

wäre nicht z.b. p(x)=x^2+x-1 so ein Polynom?habe a=1 b=1 und c=-1 gewählt und es würde auch gelten: p'(1)=3, lp(-1)l<=1, lp(0)l<=1 und lp(1)l<=1 und la+b+cl<=1

09.05.2020, 21:02

IfindU

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RE: Operator mit Ableitung
Dein Beispiel stimmt, aber wenn man es abschätzt bekommt man die obere Schranke 4 und die wird ebenfalls erreicht.

09.05.2020, 21:16

nerdno1

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RE: Operator mit Ableitung
wie ist denn die Abschätzung nach oben? mit der dreicksungleichung ist es nicht:
lp'(1)l = l 1/2p(-1)-2p(0)+3/2p(1) l <= l 1/2p(-1)-2p(0) l + l 3/2p(1) l <= 3

wenn 4 auch angenommen wird, dann muss ich ja hier auf 4 kommen und die Funktion passt dann immer noch?

09.05.2020, 21:38

IfindU

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RE: Operator mit Ableitung

Zitat:

Original von nerdno1
wie ist denn die Abschätzung nach oben? mit der dreicksungleichung ist es nicht:
lp'(1)l = l 1/2p(-1)-2p(0)+3/2p(1) l <= l 1/2p(-1)-2p(0) l + l 3/2p(1) l <= 3

wenn 4 auch angenommen wird, dann muss ich ja hier auf 4 kommen und die Funktion passt dann immer noch?

$\begin{eqnarray*} |p'(1)| \leq | \frac 1 2 p(-1)-2p(0) | + | \frac 3 2p(1) | \leq |\frac 1 2p(-1)| + |2p(0)| + | \frac 3 2 p(1)| \leq \frac 1 2 + 2 + \frac 3 2 = 4 \end{eqnarray*}$ .

Du "brauchst" also ein Beispiel mit $\begin{eqnarray*} |p'(1)| = 4 \end{eqnarray*}$ .

09.05.2020, 22:19

nerdno1

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RE: Operator mit Ableitung
Oh mann, stimmt ja.. okay eine funkition wäre dann p(x)= x^2+2x-2
somit wäre dann die Aufgabe fertig.
so jetzt zu c) wie kann ich jetzt so ein funktional finden?
das p'(1) aus a) kann ja nicht gemeint sein oder? dann wäre ja nichts mehr zu zeigen bei c)

09.05.2020, 22:27

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RE: Operator mit Ableitung
Das ist kein passendes Beispiel, weil $\begin{eqnarray*} |p(0)|=|-2|=2>1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \|p\|_\infty >1 \end{eqnarray*}$

09.05.2020, 23:06

Leopold

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Eine Euklid-Datei zum Anschauen im Anhang.

10.05.2020, 08:20

nerdno1

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RE: Operator mit Ableitung
ein mögliches Beispiel wäre:
p(x) = 7/4 x^2 + 1/2 x - 2

10.05.2020, 08:37

IfindU

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RE: Operator mit Ableitung
Leider nein. Auch hier ist $\begin{eqnarray*} p(0) = -2 \end{eqnarray*}$ und damit nicht zwischen -1 und 1.

Dann schlage ich einen rechnerischen Weg vor. Du willst ein Polynom (mit Werten zwischen -1 und 1) finden mit $\begin{eqnarray*} p'(1) = 4 \end{eqnarray*}$ (oder äquivalent $\begin{eqnarray*} p'(1) = -4 \end{eqnarray*}$ ).

Nun hast du bereits $\begin{eqnarray*} p'(1) = \frac 1 2 p(-1) - 2 p(0) + \frac 3 2 p(1) \end{eqnarray*}$ gezeigt und wir haben die Schranke an das Polynom benutzt, um $\begin{eqnarray*} |p'(1)| \leq 4 \end{eqnarray*}$ zu zeigen. D.h. damit Gleichheit gilt, muss $\begin{eqnarray*} p(-1)=p(1) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(0) = -1 \end{eqnarray*}$ gelten. Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} p'(-1) =4 \end{eqnarray*}$ .

Nun sind das drei Gleichungen, welche ein Polynom zweiten Grades eindeutig identifizieren. Wenn es ein Beispiel für Gleichheit in der Ungleichheit gibt, dann ist es das!

10.05.2020, 08:51

nerdno1

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RE: Operator mit Ableitung
Okay, ausgerechnet kommt raus:
p(x)=2x^2 - 1

habe es nochmal überprüft und müsste jetzt alle Bedingungen erfüllen.
ist das mein funktional für c) oder? stetigkeit und Linearität folgt doch schon aus a) für die allgemeine form des polynoms und Operatornormen sind gleich: aus b) kennen wir die für A und für dieses p(x) ist es auch erfüllt.

10.05.2020, 10:18

IfindU

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RE: Operator mit Ableitung
Das stimmt nun Freude

Dein Funktional ist die Form aus a).

Hier ist wichtig nachzuweisen, dass die Operatornorm nicht größer wird, nur weil man von Polynomen auf allgemeine stetige Funktionen gegangen ist.

Aber der Beweis bei b) brauchte nicht einmal Stetigkeit, sondern nur, dass jeder Funktionswert betragsmäßig durch 1 beschränkt war.

D.h. die eindeutige Erweiterung deines Funktionals ist die gewichtete Summe zwischen 3 Funktionsauswertungen. Das ist ein wichtiges Beispiel: Obwohl man mit dem Funktional eigentlich die Ableitung im Punkt 1 auswerten wollte, hat die Erweiterung auf stetige Funktionen nichts mehr damit zu tun!

Man muss also extrem vorsichtig sein, wenn man Operatoren fortsetzt. Das Ergebnis ist vielleicht nicht das was man damit ursprünglich bezwecken wollte.

10.05.2020, 12:26

nerdno1

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RE: Operator mit Ableitung
zu b)
zum Verständnis: dieses konkrete ausgerechnete p(x) war für b) notwendig um die norm zu berechnen oder?

zu c) also dann wäre das gesuchte funktional eine Funktion q'(x), die analog zu a) zu berechnen wäre, nur nicht für x=1 sondern allgemein:

q&#8242 traurig

x)=(x-1/2)*q(−1)−2x * q(0) + (1/2+x) * q(1)

10.05.2020, 12:38

nerdno1

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RE: Operator mit Ableitung
zu b)
zum Verständnis: dieses konkrete ausgerechnete p(x), wozu war ein konkretes Beispiel notwendig?

zu c) also dann wäre das gesuchte funktional eine Funktion q'(x), die analog zu a) zu berechnen wäre, nur nicht für x=1 sondern allgemein:

q&#8242 traurig

x)=(x-1/2)*q(−1)−2x * q(0) + (1/2+x) * q(1)

10.05.2020, 12:56

nerdno1

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RE: Operator mit Ableitung
q'(x)=(x-1/2)*q(-1)-2x * q(0) + (1/2+x) * q(1)

10.05.2020, 15:19

IfindU

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RE: Operator mit Ableitung
Du hast bei b) gezeigt, dass die Operatornorm durch 4 beschränkt ist. Du hättest genauso gut einen Beweis führen können, dass die Operatornorm durch 20 oder 2000 beschränkt ist.

Das sagt uns aber nur, dass die Operatornorm nicht größer sein kann. Sie kann durchaus kleiner sein. Mit Angabe eines konkretes Beispiels bei welchem der Wert angenommen wird, haben wir gezeigt, dass die Operatornorm tatsächlich 4 ist.

Und bei c) ist es wirklich $\begin{eqnarray*} A(f) = \frac 1 2 f(-1) - 2 f(0) + \frac 3 2 f(1) \end{eqnarray*}$ , wie du es bei a) berechnet hast.

10.05.2020, 17:03

nerdno1

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RE: Operator mit Ableitung
verstehe, das Funktional A_(p) gleich A(p) muss ich ja dann nicht mehr zeigen, dann folgt ja die Stetigkeit und Linearität ist doch schon für A bei a) gezeigt. und die Norm bei b) oder?

10.05.2020, 17:10

IfindU

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RE: Operator mit Ableitung
Genau. Potentiell könnte es natürlich sein, dass die Operatornorm wächst, da der Raum der möglichen Funktionen gewachsen ist. Der gleiche Beweis für die obere Schranke der Operatornorm funktioniert aber genauso gut für den Raum der stetigen Funktionen, daher ist das kein Problem.

10.05.2020, 18:13

nerdno1

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RE: Operator mit Ableitung
super, vielen dank für die Hilfe und Geduld

10.05.2020, 18:32

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RE: Operator mit Ableitung
@IfindU: Wie sieht man denn, dass das die eindeutige Erweiterung des Funktionals ist?

10.05.2020, 18:46

IfindU

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RE: Operator mit Ableitung
@URL: Mich würde es sehr überraschen, wenn es eindeutig wäre. Dafür ist $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ ein viel zu kleiner Raum.

Für jede Projektion $\begin{eqnarray*} p: C([-1,1]) \to P_2([-1,1]) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|p(f)\|_\infty \leq \|f\|_\infty \end{eqnarray*}$ kann man die Abbildung mit $\begin{eqnarray*} A \circ p \end{eqnarray*}$ betrachten und erhält eine weitere Abbildung.

Ich dachte auch erst einmal, dass man eine $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ definieren muss, da sonst die Operatornorm zu groß wird. Zum Glück musste man es nicht, da mir auch keine natürliche Abbildung dafür einfällt. Höchstens Polynominterpolation, aber da bin ich nicht sicher, ob es sich mit der Supremumsnorm verträgt.

10.05.2020, 19:22

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RE: Operator mit Ableitung
Ah, ok, ich wäre nämlich auch überrascht, habe wohl dein "D.h. die eindeutige Erweiterung deines Funktionals " falsch verstanden. Wink

Bei Lagrangeinterpolationspolynomen $\begin{eqnarray*} q_0,q_1,q_2 \end{eqnarray*}$ zu den Stützstellen -1, 0 ,1 kommt man für das Interpolationspolynom $\begin{eqnarray*} (pf)(x)=\sum_{k=0}^2f(k)q_k(x) \end{eqnarray*}$ mit der
der groben Abschätzung $\begin{eqnarray*} \|pf\|_\infty\leq \|f\|_\infty\sum\|q_k\|_\infty =\|f\|_\infty 3 \end{eqnarray*}$ jedenfalls nicht aus.
Die Randextrema hat man wegen $\begin{eqnarray*} (pf)(-1)=f(-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (pf)(1)=f(1) \end{eqnarray*}$ immerhin im Griff.

10.05.2020, 19:42

IfindU

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RE: Operator mit Ableitung
Als ich herausgefunden habe, dass man keine extra Interpolation/Projektion braucht habe ich die Fortsetzung als "die" natürliche gesehen. Vermutlich drang das unbewusst in den Posts durch.

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