Flächeninhalt analytisch nicht berechenbar?

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09.05.2020, 09:44	Idence	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt analytisch nicht berechenbar? Meine Frage: Hallo, gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ . Davon möchte man den Inhalt der Fläche berechnen, der von der x-Achse, dem Funktionsgraphen und von y=-3 eingeschlossen wird, siehe Anhang. Meine Ideen: Anschaulich kann man die Fläche berechnen, indem man zuerst die Fläche zweiteilt (da achsensymmetrisch), dann die Fläche des Rechtecks berechnet und schließlich die Fläche der übrigen Fläche per Integrieren. Ergebnis: A=4 Ich habe es auch mit dem Doppelintegral versucht: $\begin{eqnarray} 2 \int_{-3}^{0} \! \int_{0}^{1} \! f(x) \, dx \, dy \end{eqnarray}$ Dabei steht aber im Nenner eine Null, geht also nicht. Meine Frage ist: Ich möchte diese Aufgabe mit reiner Analysis lösen, also ohne geometrische Überlegungen zu tätigen. Gibt es dafür eine funktionierende Methode?
09.05.2020, 10:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt analytisch nicht berechenbar? Doppelintegral geht schon, dein Integrand ist aber stückweise definiert.
09.05.2020, 10:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das möchte ich insoweit verneinen, dass "Doppelintegral über f(x)" hier gar nicht geht, was die Flächenberechnung betrifft: Wenn schon Doppelintegral für die Fläche, dann eins über Integrand 1, mit passenden Integralgrenzen abhängig von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , z.B. $\begin{eqnarray} A = \int\limits_{-1}^1 \int\limits_{\max\left\{f(x),-3\right\}}^0 1 ~ \dd y ~ \dd x = \int\limits_{-1}^1 \min\left\{-f(x),3\right\} ~ \dd x = 2\int\limits_0^1 \min\left\{-f(x),3\right\} ~ \dd x \end{eqnarray}$ . Oder wenn wir mit $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ die Umkehrfunktion des RECHTEN Funktionsastes bezeichnen: $\begin{eqnarray} A = 2\int\limits_{-3}^0 \int\limits_0^{f^{-1}(y)} 1 ~ \dd x ~ \dd y = 2\int\limits_{-3}^0 f^{-1}(y) ~ \dd y \end{eqnarray}$ .
09.05.2020, 11:06	Idence	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt analytisch nicht berechenbar? Was genau meinst du mit stückweise? Dass das Integral nur die Hälfte der Fläche berechnet? Deshalb habe ich noch mit 2 multipliziert.
09.05.2020, 11:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt analytisch nicht berechenbar? @HAL: Ich dachte an $\begin{eqnarray} \int_{-1}^1\int_{-3}^0\chi(A) \,dydx \end{eqnarray}$ mit charakteristischer Funktion der markierten Fläche. Dröselt man das auf, kommt man natürlich zu den Integralgrenzen abhängig von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$
09.05.2020, 11:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich könnte wetten, daß es um eine Abituraufgabe BW aus dem Pflichtteil 2019 geht. [attach]51200[/attach]
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09.05.2020, 11:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@URL Deswegen schrieb ich ja auch "insoweit" und "Doppelintegral über f(x)", weil letzteres ja die Struktur des letzten zu lesenden Doppelintegrals von Idence im Thread war.
09.05.2020, 12:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich letztes Jahr einige Abiture von allen möglichen Schulen korrigiert habe, weiß ich: Fast kein Schüler hatte diese Aufgabe richtig gelöst. Das Vernünftigste war noch $\begin{align} A = \int_{-1}^1 \left( 1 - \frac{1}{x}^2 \right) ~ \dd x \end{align}$ , wenn es überhaupt erlaubt ist, unter lauter Falschem einen Grad von Vernunft anzugeben. Man glaubt nicht, wie formal die meisten Menschen denken: Kurve, Fläche, Integral. Fertig. Falsch. Mit charakteristischen Funktionen oder so etwas können Schüler nichts anfangen. Hier sollten sie nur erkennen: Man addiere zum Inhalt einer Rechtecksfläche die Inhalte zweier symmetrischer Flächen zwischen x-Achse und Funktionsgraph. Und die Schüler mußten irgendwie wissen, daß der bloße Integralansatz einen negativen Wert liefert und das in ihre Rechnung korrekt einbauen. Immerhin, ein paar wenige haben das hinbekommen. Über die freut man sich dann.
09.05.2020, 12:01	Idence	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe graphisch zu lösen ist einfach. Mir geht es eher um die reine Analysis. Da es "mächtiger" ist, bevorzuge ich die analytischen Methoden.
09.05.2020, 12:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir keine Vorschriften machen, nur Empfehlungen geben: Mach's anders. Zu denken, weil man ein schönes Integralzeichen hat und irgendwas mit Stammfunktionen rechnet, sei diese Lösung besser, ist falsch. Das Gegenteil ist richtig: Mathematiker machen es sich so einfach wie möglich. Dabei aber immer korrekt. Am besten beschriftet man in der Zeichnung die Rechtecksfläche ( $\begin{align} A_1 \end{align}$ ) und eine der Restflächen ( $\begin{align} A_2 \end{align}$ ) und rechnet $\begin{align} A_1 = 1 \cdot 3 = 3 \end{align}$ $\begin{align} \int_{\frac{1}{2}}^1 \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) ~ \dd x = F(1) - F \left( \frac{1}{2} \right) = 2 - \frac{5}{2} = - \frac{1}{2} \ \ \text{mit} \ \ F(x) = x + \frac{1}{x} \end{align}$ $\begin{align} A_2 = \frac{1}{2} \end{align}$ $\begin{align} A = A_1 + 2 \cdot A_2 = 3 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 \end{align}$ Der gesuchte Flächeninhalt ist 4. Wer's mit noch mehr Integralen will, bitteschön! $\begin{align} A \ = \ - \left( \int_{-1}^{- \frac{1}{2}} \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) ~ \dd x \ + \int_{-1}^1 (-3) ~ \dd x \ + \ \int_{\frac{1}{2}}^1 \left( 1 - \frac{1}{x^2} \right) ~ \dd x \right) \end{align}$ Und was ist jetzt daran besser, außer daß man Gefahr läuft, sich bei den Vorzeichen irgendwo vertan zu haben? (Stimmen die denn bei mir?)
09.05.2020, 12:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der oben skizzierte Alternativweg über die Umkehrfunktion ist auch nicht wirklich einfacher: Zwar entfällt die Intervallaufteilung, dafür muss man aber zunächst die Umkehrfunktion unfallfrei hinkriegen, um mit der dann das Integral $\begin{eqnarray} A = 2\int\limits_{-3}^0 f^{-1}(y) ~ \dd y = 2\int\limits_{-3}^0 \frac{1}{\sqrt{1-y}} ~ \dd y \end{eqnarray}$ zu berechnen.
09.05.2020, 12:49	Idence	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Leopold: Ich verstehe dein Anliegen und stimme dir zu. Wieso sollte man es sich schwieriger machen als nötig? Mein Ziel ist es nicht, die Aufgabe künstlich zu erschweren, sondern meine mathematischen "Werkzeuge" so zu schärfen, sodass ich möglichst viele Fragestellungen lösen kann. Das heißt also, dass man sich völlig Allgemeine Methoden aneignet. Dass dies meistens zu aufwendigen Rechnungen führt, ist kein Problem, da ich den Computer rechnen lasse, ich sage ihm nur, was er rechnen soll. Anmerkung zur letzten Gleichung, die du notiert hast: Das ist nicht die "allgemeine Methode" die ich suche, da man dazu eine Skizze der Funktion bräuchte. Ich möchte dagegen die Funktion einfach nur als BlackBox f(x) betrachten. Das geht mit dem Doppelintegral, wenn man über 1 integriert. Aber Sie haben bei mir zu einem Umdenken geführt. Man sollte wirklich nicht alle Probleme völlig formalistisch angehen, sondern möglichst effizient. Danke dafür.
09.05.2020, 12:53	Idence	Auf diesen Beitrag antworten »
@ HAL 9000: Die Methode mit dem Doppelintegral ist das, was ich wollte. Ich hätte über 1 integrieren müssen und die Ränder entsprechend anpassen.

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