Rotationsreihenfolge im R^3

Neue Frage »

matheknobeln Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsreihenfolge im R^3
Meine Frage:
Hallo,
ich habe ein Verständnisproblem in der Anwendung von Rotationsmatrizen.
In der Navigation wird oft das lokale in das globale Koordinatensystem transformiert.

Hierzu kann (nach: https://physik.cosmos-indirekt.de/Physik...ulersche_Winkel) die z,y',x'' Konvention verwendet werden.






Da die Matrizenmultiplikation kommutativ ist spielt die Reihenfolge in welcher die jeweilige Rotation um die Achse berechnet wird eine Rolle.
Rx*Ry*RzRy*Rx*Rz

Die Winkel beziehen sich von der jweiligen Achse des lokalen Systems auf die des globalen Systems (habe ich das richtig verstanden?).

Nun zu meiner Frage:
Warum spielt die Reihenfolge der Multiplikation eine Rolle, wenn die Winkel sich auf das globale System beziehen.
Bzw. anders gefragt:
Warum ist das Ergebnis mit Ry*Rx*Rz falsch, bei Multiplikation mit Rx*Ry*Rz aber korrekt?






Meine Ideen:
In der Fragestellung mit inbegrifften.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Matrizenmultiplikation ist NICHT kommutativ, das heißt, die Reihenfolge der Drehungen SPIELT eine Rolle. Nimm einen Backstein, drehe ihn um je 90° nach hinten und links, das sieht im Ergebnis anders aus als wenn du ihn um je 90° nach links und hinten drehst.
matheknobeln Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Elvis,
danke für die Korrektur, natürlich ist eine Matrizenmultiplikation "nicht" kommutativ ,gib ich dir völlig Recht (wollte ich eigentlich auch so schreiben).

Und was dein Beispiel mit dem Klotz angeht - das habe ich mir auch schon so ähnlich überlegt, macht Sinn.

Aber genau das ist meine Frage, wieso das Ergebnis anscheinend korrekt ist, wenn man wie nach der z,y',x'' Konvention zuerst um die z, dann y und anschließend um die x Achse rotiert (Rx*Ry*Rz).
Schließlich beziehen sich die Winkel auf die Änderung der Orientierung des lokalen Systems zum globalen System und ändern sich nicht entsprechend der vorherigen Drehung.
Was ich damit sagen will, Winkel ändert sich nicht obwohl bereits um den Winkel gedreht wurde.
Hoffe das ist verständlich verwirrt .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Winkel ändern sich nicht, aber die Reihenfolge der Drehungen ändern sich. Wirkungen von Aktionen sind im allgemeinen von der Reihenfolge abhängig, das ist nicht erstaunlich sondern der Normalfall. Es macht einen gewaltigen Unterschied, ob man ein fröhliches Liedchen pfeift und dann von einem Lastwagen überfahren wird oder von einem Lastwagen überfahren wird und dann weniger fröhlich auf dem letzten Loch pfeift. Augenzwinkern

Die Drehung mit dem Quader kann man sich nicht überlegen, das Ding muss man in die Hand nehmen, sonst begreift man es nicht. Wenn man es dreht und sieht, dann kann man nicht mehr theoretisch glauben, dass die Welt doch eigentlich einfacher funktionieren sollte, das tut sie einfach nicht. Die Matrizen beschreiben die Wirklichkeit, fromme Wünsche ändern daran nichts.
matheknobeln Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort soweit.
Hatte mir ein kleines Koordinatensystem gebastelt und gesehen, dass das Ergebnis von der Reihenfolge der Multiplikation abhängig ist.

Ich versuche meine Frage an einem Beispiel zu konkretisieren.
Ein Auto fährt in eine Rechtskurve einen Berg hinauf und erfährt dabei eine Seitenlage.

Sprich alle Winkel (phi, theta und psi) ändern sich gleichzeitig.
Nun wende ich die z,y',x'' Konvention an, dh., ich drehe um die 1. z, 2. y, 3. x Achse und erhalte wohl das korrekte Ergebnis?
Warum ist das Ergebnis aber genau mit dieser Reihenfolge korrekt?
Oder täusche ich mich? verwirrt
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@matheknobeln
Die Definition der Winkel und die Reihenfolge der Drehungen können völlig willkürlich gewählt werden. Hauptsache, die Lage des Körpers ist stets eindeutig. Die Winkel sind gewissermaßen die "Koordinaten" der Drehung - analog zu den Koordinaten x, y, z bei der Translation. Auch bei der Translation kann man ja die Koordinaten willkürlich wählen, z.B. Kugelkoordinaten.

Die sogenannten Eulerschen Winkel, die z.B. in der Kreiseltheorie verwendet werden, sind also reine Konvention und nur eine Variante von vielen.
 
 
Rotator Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsreihenfolge im R^3
Hallo Zusammen,

ich würde die Thematik nochmal gerne aufgreifen.
Gibt es eine Rechenvorschrift die das Problem der Rotationsreihenfolge überflüssig macht?



Ich habe folgendes Problem:

Ich habe ein globales Koordinatensystem R^3 in dem sich zwei Punkte A und B befinden.
Die beiden Punkte stehen in Bezug zueinander und haben immer den gleichen Abstand zueinander.(kann beispielsweise durch eine Gerade beschrieben werden)
Vom Punkt A kenne ich zu jedem Zeitpunkt meiner Betrachtung die Koordinaten im globalen System.
Die Koordinaten des Punktes B kenne ich nur zu beginn meine Betrachtung.

Wenn sich Punkt A im laufe meiner Betrachtung bewegt und rotiert, möchte in die Koordinaten von Punkt B bestimmen können.

Mir sind die Koordinaten von Punkt A zu jedem Zeitpunkt bekannt.
Die Translation und Rotation von Punkt A in und um x,y,z ist mir bekannt.
Allerdings ist mir die Rotationsreihenfolge um x,y,z nicht bekannt.

Wie komme ich an die Koordinaten von Punkt B?


Ich hoffe man kann verstehen worauf ich hinaus möchte.
Vielen Dank im Voraus smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen