Injektivität zeigen

09.05.2020, 14:03

Karlo147

Injektivität zeigen

Meine Frage:
Guten Tag!
Ich soll für Funktionentheorie in einer Aufgabe zeigen, dass die Funktion
$\begin{eqnarray*} f:C/\left\{0\right\}\longrightarrow C \text{ mit } z\mapsto\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a}) \end{eqnarray*}$
sowohl für die Beschränkung
$\begin{eqnarray*} A/\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} A=\left\{a\in C| |a|< 1 \right\} \end{eqnarray*}$
als auch für
$\begin{eqnarray*} C/\bar{A} \end{eqnarray*}$
injektiv ist. Es scheint ja grundsätzlich recht einfach, dennoch habe ich es bis jetzt noch nicht geschafft. Mir ist klar, dass ich aus der Gleichheit der Funktionswerte die Gleichheit der Argumente folgern muss, aber eben dass gelingt mir nicht. Ich hoffe, jemand kann mir hier helfen.
Vielen Dank schonmal!

Meine Ideen:
Ich denke, dass ich auch auf etwas wie
$\begin{eqnarray*} (a_{1}-a_{2})(1-|a_{1}| |a_{2}|)=0 \end{eqnarray*}$
kommen muss. Genau die Form geht natürlich nicht, aber zumindest etwas ähnliches sollte es ja sein. Ich habe bereits alle mir bekannten Identitäten verwendet und auch versucht mit den Beträgen der Funktionswerte zu arbeiten, bin aber bisher auf voller Linie gescheitert.
Natürlich ist C ist Menge der komplexen Zahlen, und bei dem zweiten Teil ist der Abschluss gemeint.

09.05.2020, 15:09

HAL 9000

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Es ist $\begin{eqnarray*} f\left(a_1\right) - f\left(a_2\right) = \frac{1}{2} \left(a_1-a_2\right)\cdot \left(1-\frac{1}{a_1a_2}\right) \end{eqnarray*}$ , das sollte bei der Argumentation zur Injektivität helfen.

Zitat:

Original von Karlo147
$\begin{eqnarray*} z\mapsto\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a}) \end{eqnarray*}$

Ich bin davon ausgegangen, dass du entweder $\begin{eqnarray*} a\mapsto\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z\mapsto\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right) \end{eqnarray*}$ gemeint hast, statt dieser von dir angegebenen konstanten Funktion. unglücklich

09.05.2020, 15:18

Karlo147

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Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Da ist mir wohl ein Lapsus passiert, es sollte natürlich keine konstante Funktion sein Hammer

.
Diese Form hatte ich auch schon, aber ich wüßte nicht wirklich wie ich damit weitermachen sollte. Da könnte ich zwar die Beträge reinbringen, hätte doch aber noch die konjugierten Teile, die ja dann stören traurig

09.05.2020, 15:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Karlo147
Diese Form hatte ich auch schon

Hast du aber nicht aufgeschrieben. Stattdessen nur eine verhunzte Version, wo du Beträge reingebracht hast, die da nicht hingehören!!!

Wie es weitergeht? Die Differenz $\begin{eqnarray*} f\left(a_1\right) - f\left(a_2\right) \end{eqnarray*}$ kann gemäß obiger Darstellung nur dann Null werden, wenn $\begin{eqnarray*} a_1=a_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_1a_2=1 \end{eqnarray*}$ gilt, nur letzteres widerspricht evtl. der Injektivität. Wenn aber beide Werte $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \end{eqnarray*}$ aus der Menge $\begin{eqnarray*} A = \left\{a\in \mathbb{C} \mid |a|<1\right\} \end{eqnarray*}$ stammen, oder beide aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}\setminus \bar{A} = \left\{a\in \mathbb{C} \mid |a|>1\right\} \end{eqnarray*}$ , dann kann $\begin{eqnarray*} a_1a_2=1 \end{eqnarray*}$ nicht passieren - warum?

09.05.2020, 15:34

Karlo147

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Oha, natürlich! Dass ich das nicht gesehen habe... Hammer

Wenn $\begin{eqnarray*} a_{1}a_{2}=1 \end{eqnarray*}$ , müsste $\begin{eqnarray*} \bar{a_{1}}=a_{2} \end{eqnarray*}$ , da man ja nur dann aus der Multiplikation etwas reelles bekommt. Dann wüsste aber widerum $\begin{eqnarray*} |a|=1 \end{eqnarray*}$ , was natürlich der Vorraussetzung widerspricht. Somit folgt also, dass $\begin{eqnarray*} a_{1}=a_{2} \end{eqnarray*}$ .
Ich danke Dir vielmals! Freude

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