Trigonometrische Gleichung lösen

09.05.2020, 14:53

Bluubi

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Trigonometrische Gleichung lösen

Meine Frage:
Hallo,
Ich hoffe man kann mir hier weiterhelfen. Ich denke mich schon Stunden dumm und dämlich.

Gegegen ist die Funktion L(t) siehe Anhang.
L(t) gibt die Tageslänge an, wobei t die Zahl vergangener Tage seit Jahresbeginn angibt.
Gesucht sind die beiden Tage des Jahres, an denen Tag und Nacht gleich lang sind.

Meine Ideen:
Ich habe, siehe Anhang, L(t) gleich 12 gesetzt und t=71 erhalten. Ich habe die Funktion gezeichnet und die Lösung scheint zu stimmen. Wie aber kriege ich die zweite Lösung? unglücklich

unglücklich

Ich bin ratlos.
Vielen Dank schon mal!

09.05.2020, 15:17

Leopold

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Sobald du den Arcussinus anwendest, erhältst du die zweite Lösung durch $\begin{align*} \pi - \arcsin(\ldots) \end{align*}$ :

$\begin{align*} \sin(\text{Term}) = \text{Zahl} \end{align*}$

$\begin{align*} \text{Term} = \arcsin(\text{Zahl}) \ \ \text{oder} \ \ \text{Term} = \pi - \arcsin(\text{Zahl}) \end{align*}$

Dann den Term nach $\begin{align*} t \end{align*}$ auflösen, wie du das auch bei der ersten Lösung gemacht hast. (Die weiteren Lösungen der Gleichung für all die Jahre davor oder danach bekommst du, indem du zu den beiden gefundenen Lösungen die Periode 365 beliebig oft addierst oder subtrahierst.)

09.05.2020, 18:05

Bluuubi

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Herzlichen Dank!

Ich habe nun,siehe Anhang, circa 259 raus, habe es in Geogebra überprüft und die Lösung stimmt.

Nun muss ich nur noch nachvollziehen, wieso das so ist. Gibt es dazu Tipps? Warum rechne ich pi - arcsin, wenn ich die andere Lösung errechnen will?

Also ich weiß, dass ich z.B. wenn ich mir den Einheitskreis als Basis meiner Überlegungen nehme und z.B. den sinus von alpha ansehe, dann ist der nach pi - alpha wieder gleich. Kann ich mir vorm inneren Auge vorstellen.
Mir fehlt jetzt ein wenig das Vorstellungsvermögen, warum ich an dieser Stelle auch pi - arcsin rechnen muss. Was muss ich mir ansehen, um das verstehen zu können?

Vielen Dank noch mal!

09.05.2020, 18:13

HAL 9000

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Die Sinusfunktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto \sin(x) \end{eqnarray*}$ besitzt diverse Symmetrien, eine bzgl. der Achse $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ :

D.h., es ist $\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right) \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} t=x-\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ bedeutet das $\begin{eqnarray*} \sin(\pi-x)=\sin(x) \end{eqnarray*}$ .

09.05.2020, 18:34

Leopold

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Da ist noch ein Fehler in der Rechnung, im Scan von der vorletzten auf die letzte Zeile.

[attach]51209[/attach]

09.05.2020, 19:13

Bluubi

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Oh, ja, danke!

Ein Vorzeichenfehler vor der 0,05 in der Klammer. Nun hab ich auch t2=266 raus.

Allerdings verstehe ich noch immer nicht, warum ich pi - arcsin gerechnet habe...

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09.05.2020, 19:28

Leopold

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Denke an den Einheitskreis und die Definition des Sinus dort. Trägt man gemäß dieser Definition die Winkel 20° und 160° ab, so liegen die zugehörigen Punkte auf dem Einheitskreis symmetrisch zur Hochachse, damit haben die Winkel denselben Sinus. Und was gilt für die Winkel? 20°+160°=180°.
Und wenn du dieselbe Überlegung für die Winkel 53° und 127° auch verstanden hast, sollte dir das klar sein. Und wie das für negative Winkel geht, überlegst du dir am besten selber.

Der Arcussinus liefert gemäß Festlegung einen eindeutig bestimmten Winkel $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ zwischen -90° und 90°. Und den zweiten Winkel $\begin{align*} \beta \end{align*}$ zwischen 90° und 270° bekommt man dann durch $\begin{align*} \alpha + \beta = 180^{\circ} \end{align*}$ . An der Sinuskurve zeigt sich das durch die Symmetrie bezüglich der Geraden $\begin{align*} x = 90° = \frac{\pi}{2} \end{align*}$ (siehe Beitrag von HAL).

10.05.2020, 09:46

Bluuubi

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Zitat:

Original von Leopold
Denke an den Einheitskreis und die Definition des Sinus dort. Trägt man gemäß dieser Definition die Winkel 20° und 160° ab, so liegen die zugehörigen Punkte auf dem Einheitskreis symmetrisch zur Hochachse, damit haben die Winkel denselben Sinus. Und was gilt für die Winkel? 20°+160°=180°.
Und wenn du dieselbe Überlegung für die Winkel 53° und 127° auch verstanden hast, sollte dir das klar sein. Und wie das für negative Winkel geht, überlegst du dir am besten selber.

Genau das meinte ich, als ich weiter oben "Also ich weiß, dass ich z.B. wenn ich mir den Einheitskreis als Basis meiner Überlegungen nehme und z.B. den sinus von alpha ansehe, dann ist der nach pi - alpha wieder gleich. Kann ich mir vorm inneren Auge vorstellen." schrieb. War wahrscheinlich etwas unglücklich formuliert.

Ich danke allen für ihre Hilfe und nehme zur Kenntnis, dass es analog zum sinus auch zum arcsin eine 2. Lösung gibt. (Vorstellen kann ich es mir zwar immer noch nicht so wirklich, aber ich lebe jetzt damit.)

11.05.2020, 10:10

Leopold

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Zitat:

Original von Bluuubi
und nehme zur Kenntnis, dass es analog zum sinus auch zum arcsin eine 2. Lösung gibt.

Das ist sehr mißverständlich. Es liegt am Gebrauch des indifferenten Begriffs "Lösung". Dieses Allerweltswort sagt hier nichts. Besser ist es, man verwendet mathematische Fachbegriffe.

1. Als Funktion liefert der Sinus auf eine Eingabe genau eine Ausgabe, nicht mehrere: $\begin{align*} \sin \left( \color{red} \frac{20}{3} \pi \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$ - und nur das!

2. Die Sinusfunktion ist global nicht umkehrbar. Will man daher die Gleichung $\begin{align*} \sin \left( t \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$ lösen (hier ist tatsächlich "lösen" angebracht), erhält man je nach zugrundeliegendem Intervall keine oder auch mehrere Lösungen, bei unbeschränktem Intervall unendlich viele. Nehmen wir einmal $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ als Intervall. Dann gilt

$\begin{align*} \sin \left( t \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \ \ t \in \left\{ \ldots, - \frac{11}{3} \pi, - \frac{5}{3} \pi , \color{blue} \frac{1}{3} \pi \color{black}, \frac{7}{3} \pi, \ldots \right\} \cup \left\{ \ldots, - \frac{10}{3} \pi, - \frac{4}{3} \pi, \color{green} \frac{2}{3} \pi \color{black}, \frac{8}{3} \pi, \frac{14}{3} \pi , \color{red} \frac{20}{3} \pi \color{black}, \ \frac{26}{3} \pi , \ldots \right\} \end{align*}$

Die blaue Lösung ist diejenige Lösung $\begin{align*} \color{blue} t_0 \end{align*}$ , die die Arcussinusfunktion liefert, die grüne Lösung $\begin{align*} \color{green} t_1 \end{align*}$ ist diejenige, die man aus $\begin{align*} \color{blue} t_0 \color{black} + \color{green} t_1 \color{black}= \pi \end{align*}$ gewinnt. Und alle andern Lösungen erhält man aus diesen beiden, indem man beliebig oft $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ addiert oder subtrahiert.

11.05.2020, 10:25

HAL 9000

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Es ist das alte Lied, seit Jahr und Tag im Matheboard:

An vielen Schulen scheint man es den Schülern selbst zu überlassen herauszufinden, was Periodizität und Symmetrie der Sinus- bzw. Kosinusfunktion für Folgen hat hinsichtlich deren globaler Umkehrbarkeit, besser gesagt der Lösungsmenge von Gleichungen $\begin{eqnarray*} \cos(x)=c \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sin(x)=c \end{eqnarray*}$ bei gegebenem $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Die Pfiffigen schaffen das auch, aber die große Masse muss da wohl doch etwas stärker an die Hand genommen werden!

Möglicherweise ist es auch eine verzerrte Wahrnehmung von mir, weil ich hier im Matheboard das ja nur bei genau den Leuten mitkriege, die an der Stelle im Schulunterricht schlecht aufgepasst haben - wer weiß. smile

smile

11.05.2020, 10:59

klarsoweit

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Das liegt vielleicht auch am gedankenlosen Gebrauch des Taschenrechners. Da drückt man die arcsin- oder sonstige Umkehrfunktionstasten und wundert sich, daß nicht die gesuchte Lösung rauskommt und dann ist der blöde Taschenrechner schuld. geschockt

geschockt

11.05.2020, 12:24

Iorek

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das liegt vielleicht auch am gedankenlosen Gebrauch des Taschenrechners. Da drückt man die arcsin- oder sonstige Umkehrfunktionstasten und wundert sich, daß nicht die gesuchte Lösung rauskommt und dann ist der blöde Taschenrechner schuld. geschockt

geschockt

Und dann steht da auch noch $\begin{eqnarray*} \sin^{-1} \end{eqnarray*}$ auf dem Taschenrechner, aber wenn man das ganze mit $\begin{eqnarray*} \sin^{-1}(\pi)=\frac{1}{\sin(\pi)} \end{eqnarray*}$ berechnen will, schließlich hat man das bei den Potenzgesetzen ja so gelernt, sagt der Rechner auf einmal MATHERROR. Immer diese dumme Technik!

12.05.2020, 07:38

Bluuubi

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Also so nett es auch ist, dass ihr mir geholfen habt, eure Unterstellungen sind es nicht.

Ich gehöre weder zur Fraktion, die alles gedankenlos in den Taschenrechner hämmert (im Gegenteil ich verzichte wann immer möglich darauf und kann Kopfrechnen), noch habe ich nicht richtig in der Schule aufgepasst....
Mein Abi liegt über 10 Jahre zurück und ich hatte ein Defizit im Bereich trigonometrische Funktionen, weil das so für mich Neuland ist und das nie richtig behandelt wurde.. Ich wiederhole derzeit einfach für mich selbst und kam an der Stelle nicht weiter. Nicht mehr und nicht weniger.

12.05.2020, 07:53

HAL 9000

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Ich weiß nicht, worüber du dich aufregst: Wenn du meinen Beitrag genau gelesen hättest statt nur den Teilsatz "noch habe ich nicht richtig in der Schule aufgepasst" aus dem Zusammenhang zu reißen, dann würdest du bemerkt haben, dass mein Hauptverdacht ja genau in die Richtung geht, dass das Thema an den Schulen nur ungenügend besprochen wird. Was du mit diesem deinen letzten Beitrag ja quasi bestätigt hast.

12.05.2020, 08:23

Bluubi

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Entschuldige, es war wahrscheinlich die Summe der letzten Antworten, die in mir das Gefühl geweckt haben, ich müsse mich verteidigen. Ich habe nicht explizit dich gemeint.

Ich denke, das Thema kann nun abgehakt werden.

12.05.2020, 14:55

Iorek

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Zitat:

Original von Bluubi
Entschuldige, es war wahrscheinlich die Summe der letzten Antworten, die in mir das Gefühl geweckt haben, ich müsse mich verteidigen.

Tut mir Leid, das war nicht gegen dich gerichtet sondern gegen die didaktischen Entwicklungen der letzten 10 Jahre, die Kompetenzorientierung im Lehrplan, die KMK...ich könnte viele Ansprechpartner benennen, die sich aber für die problematischen Entwicklungen nicht interessieren, da ja die wichtigen Zahlen wie Abiturienten und Durchschnittsnoten aus ihrer Sicht stimmen.

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