Metr Raum Dreiecksungleichung Offen

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DrJohnZoidberg Auf diesen Beitrag antworten »
Metr Raum Dreiecksungleichung Offen
Hallo Wink
Mir fällt es generell schwer Beweise durchzuführen und zu zeigen, ich Blicke das nur bedingt smile


Meine Aufgabe lautet:
Es sei ein metrischer Raum. Wir definieren eine Abbildung durch .

a) Zeigen Sie, dass d' eine Metrik auf X definiert.

Zu zeigen sind folgende Eigenschaften der Metrik:
i) und
ii)
iii)

zu i) Da folgendes angegeben ist
, nahm ich an gilt auch .

zu ii) Habe versucht es folgendermaßen zu zeigen.


iii) Hierzu ist die Idee eine Dreiecksungleichung aufzustellen und abzuschätzen. Doch fällt es mir bei dieser Aufgabenstellung schwer etwas zu definieren. In anderen Beiträgen über metrische Räume bin ich auch auf den Tipp gestoßen das ein verwendet wird um abzuschätzen. Doch das Beispiel war ein anderes und ich schaffe den Sprung zu meiner Angabe mit dem Infimum nicht.

** Dieses Thema schreibe ich seit heute Abend und ich hier nun überhaupt auf eine Lösung gekommen.
[img] https://s12.directupload.net/images/200509/y2ovynoe.jpg[/IMG]
stimmt das vielleicht verwirrt

b) Zeigen Sie, dass eine Menge im metrischen Raum (X, d) genau dann offen ist, wenn sie in (X, d') offen ist.

Ich habe hier ganz offen und ehrlich die Fragestellung nach wie vor nicht ganz verstanden. Ich nehme nun folgendes an:
https://www.directupload.net/file/d/5814/28ldchkg_jpg.htm]
Soweit ich verstehe nehme ich erst (X,d') an und behaupte wenn es für d' in X gilt so gelte es auch für d in X?

Sei ein metr. Raum.
Sei die Teilmenge und für jedes gibt es ein , sodass .
So ist M eine offene Menge.
Falls die Überlegung soweit richtig ist steh ich nun vor einer Wand Hammer

Danke schon mal und Gruß
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Metr Raum Dreiecksungleichung Offen
Zitat:
Original von DrJohnZoidberg
zu i) Da folgendes angegeben ist
, nahm ich an gilt auch .

Nun ja, das ist ein wenig schlitzohrig. Es wäre schon schön, wenn du explizit zeigen könntest. Das ist ja wohl auch kein Problem. smile

Zitat:
Original von DrJohnZoidberg
zu ii) Habe versucht es folgendermaßen zu zeigen.


Formal ungenau. Korrekt ist:

Zitat:
Original von DrJohnZoidberg
iii) Hierzu ist die Idee eine Dreiecksungleichung aufzustellen und abzuschätzen. Doch fällt es mir bei dieser Aufgabenstellung schwer etwas zu definieren.

Du mußt da nichts definieren, sondern nutzen, daß d eine Metrik ist, daß also für d die Dreiecksungleichung schon gilt. Fange also mit an und wende auf d(x,y) die Dreiecksungleichung an.

Zitat:
Original von DrJohnZoidberg
b) Zeigen Sie, dass eine Menge im metrischen Raum (X, d) genau dann offen ist, wenn sie in (X, d') offen ist.

Ich habe hier ganz offen und ehrlich die Fragestellung nach wie vor nicht ganz verstanden. Ich nehme nun folgendes an:
https://www.directupload.net/file/d/5814/28ldchkg_jpg.htm]
Soweit ich verstehe nehme ich erst (X,d') an und behaupte wenn es für d' in X gilt so gelte es auch für d in X?

Um das mal mit anderen Worten zu beschreiben: du nimmst eine Menge M aus X. Dann soll gelten:
M ist offen bezüglich der Metrik d genau dann, wenn M ist offen bezüglich der Metrik d'.

Zitat:
Original von DrJohnZoidberg
Sei ein metr. Raum.
Sei die Teilmenge und für jedes gibt es ein , sodass .
So ist M eine offene Menge.
Falls die Überlegung soweit richtig ist steh ich nun vor einer Wand Hammer

Das geht alles irgendwie ziemlich durcheinander. Ich würde so anfangen:

Sei M eine offene Menge bezüglich der Metrik d. Nun ist zu zeigen, daß M auch eine offene Menge bezüglich der Metrik d' ist. Es muß also gezeigt, für jedes ein epsilon > 0 existiert, so daß ist.
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