Metr Raum Dreiecksungleichung Offen |
09.05.2020, 21:27 | DrJohnZoidberg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Metr Raum Dreiecksungleichung Offen Mir fällt es generell schwer Beweise durchzuführen und zu zeigen, ich Blicke das nur bedingt Meine Aufgabe lautet: Es sei ein metrischer Raum. Wir definieren eine Abbildung durch . a) Zeigen Sie, dass d' eine Metrik auf X definiert. Zu zeigen sind folgende Eigenschaften der Metrik: i) und ii) iii) zu i) Da folgendes angegeben ist , nahm ich an gilt auch . zu ii) Habe versucht es folgendermaßen zu zeigen. iii) Hierzu ist die Idee eine Dreiecksungleichung aufzustellen und abzuschätzen. Doch fällt es mir bei dieser Aufgabenstellung schwer etwas zu definieren. In anderen Beiträgen über metrische Räume bin ich auch auf den Tipp gestoßen das ein verwendet wird um abzuschätzen. Doch das Beispiel war ein anderes und ich schaffe den Sprung zu meiner Angabe mit dem Infimum nicht. ** Dieses Thema schreibe ich seit heute Abend und ich hier nun überhaupt auf eine Lösung gekommen. [img] https://s12.directupload.net/images/200509/y2ovynoe.jpg[/IMG] stimmt das vielleicht b) Zeigen Sie, dass eine Menge im metrischen Raum (X, d) genau dann offen ist, wenn sie in (X, d') offen ist. Ich habe hier ganz offen und ehrlich die Fragestellung nach wie vor nicht ganz verstanden. Ich nehme nun folgendes an: https://www.directupload.net/file/d/5814/28ldchkg_jpg.htm] Soweit ich verstehe nehme ich erst (X,d') an und behaupte wenn es für d' in X gilt so gelte es auch für d in X? Sei ein metr. Raum. Sei die Teilmenge und für jedes gibt es ein , sodass . So ist M eine offene Menge. Falls die Überlegung soweit richtig ist steh ich nun vor einer Wand Danke schon mal und Gruß |
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11.05.2020, 11:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Metr Raum Dreiecksungleichung Offen
Nun ja, das ist ein wenig schlitzohrig. Es wäre schon schön, wenn du explizit zeigen könntest. Das ist ja wohl auch kein Problem.
Formal ungenau. Korrekt ist:
Du mußt da nichts definieren, sondern nutzen, daß d eine Metrik ist, daß also für d die Dreiecksungleichung schon gilt. Fange also mit an und wende auf d(x,y) die Dreiecksungleichung an.
Um das mal mit anderen Worten zu beschreiben: du nimmst eine Menge M aus X. Dann soll gelten: M ist offen bezüglich der Metrik d genau dann, wenn M ist offen bezüglich der Metrik d'.
Das geht alles irgendwie ziemlich durcheinander. Ich würde so anfangen: Sei M eine offene Menge bezüglich der Metrik d. Nun ist zu zeigen, daß M auch eine offene Menge bezüglich der Metrik d' ist. Es muß also gezeigt, für jedes ein epsilon > 0 existiert, so daß ist. |
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