Häufungspunkte/Folgen Konvergenz im komplexen

09.05.2020, 21:55	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Häufungspunkte/Folgen Konvergenz im komplexen Guten Abend, ich habe Fragen bezüglich zwei Aufgaben die ich machen muss für die Uni die ich Sonntag um 23.59 abgeben muss. Natürlich werde ich meine Gedanken dazuschreibe. Aufgabe 1: bestimmen der Häufungspunkte Im Reelen z. B bei der Folge (-1)^n hab ich das verstanden da sind die Häufungspunkte - 1 für ungerade n und 1 für gerade n Aber wie geht das genau Im komplexen? Das sind die Teilaufgaben: (I) $\begin{eqnarray} Z_{n} =\lambda^{n} (2+2i)^n \end{eqnarray}$ (II) $\begin{eqnarray} Z_{n} = \frac{1 } {n^{4}} Im(i+n)^5 \end{eqnarray}$ (III) $\begin{eqnarray} Z_n=\frac{1} {8^n} \|(1+i)^{n}\| \|2+2i\|^n \end{eqnarray}$ Meine Ideen zu (i) Keine Ahnung (II) $\begin{eqnarray} Z_{n} = \frac{1 } {n^{4}} Im(i+n)^5=\frac{1 } {n^{4}}1^5= \frac{1 } {n^{4}} \end{eqnarray}$ da der Im(i+n)=1 ist oder nicht? (III) $\begin{eqnarray} Z_n=\frac{1} {8^n} \|(1+i)^{n}\| \|2+2i\|^n=\frac{1} {8^n} \|(1+i)^{n}\|\sqrt{8}^n=\frac{\sqrt{8}^{n} } {8^n} \|(1+i)^{n}\|=(\frac{\sqrt{8} } {8}) ^{n} \|(1+i)^{n}\|=... \end{eqnarray}$ Aufgabe 2 Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz (I) $\begin{eqnarray} z_n=i^n \end{eqnarray}$ (II) $\begin{eqnarray} z_n=(\frac{1} {1+i}) ^{n} \end{eqnarray}$ (III) $\begin{eqnarray} z_n=n^{2}(i^{n}-1) \end{eqnarray}$ Meine Ideen (i) konvergiert nicht da man vier Häufungspunkte i, - 1,1,-i hat (II) konvergiert da $\begin{eqnarray} z_n=(\frac{1} {1+i}) ^{n} \end{eqnarray}$ da der Betrag von $\begin{eqnarray} z_n=(\frac{1} {1+i}) ^{n}=\frac{1} {(1+i) ^{n} } \end{eqnarray*}$ kleiner als 1 ist? (III) keine Ahnung muss man n durch n^2 teilen? Hoffe ihr könnt mir helfen. vielen Dank schonmal
09.05.2020, 22:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Häufungspunkte/Folgen Konvergenz im komplexen Aufgabe 1, (I): Was soll denn $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ sein? Aufgabe 1, (II): Da steht aber $\begin{eqnarray} Im(i+n)^5 \end{eqnarray}$ . Beispiel $\begin{eqnarray} Im(i+1)^2=Im(i^2+2i+1)=2\neq 1 \end{eqnarray}$ . Am schnellsten geht es wohl, $\begin{eqnarray} (i+n)^5 \end{eqnarray}$ auszurechnen. Aufgabe 1, (III): $\begin{eqnarray} \|(1+i)^n\|=\|(1+i)\|^n \end{eqnarray}$ Aufgabe 2, (I): Richtig Aufgabe 2, (II): Fast. $\begin{eqnarray} \|1/(1+i)\|<1 \end{eqnarray}$ . Was ist also der Grenzwert? Aufgabe 2, (III): Hier hilft Aufgabe 2, (I)
09.05.2020, 23:39	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 1 (I) $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ aus Reellen Zahlen (II) $\begin{eqnarray} (1+i)^5=-4-4i \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} Im(1+i)^{5}=Im(-4-4i)=-4 \end{eqnarray}$ (III) $\begin{eqnarray} \|1+i\|^{n}=\sqrt{2}^{n} \end{eqnarray}$ Aufgabe 2 (II) gegen 0 oder? Danke werden morgen mal ausführlicher antworten (mach das nämlich grad am Handy) Danke schonmal
10.05.2020, 11:23	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 1, (II): Da steht aber $\begin{eqnarray} Im(i+n)^5 \end{eqnarray}$ Der Rest passt.
10.05.2020, 12:27	Susanno95	Auf diesen Beitrag antworten »
So folgendes habe ich jetzt zur Aufgabe 1: (i) keine Ahnung was mach ich mit dem $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ? Tipps? Ideen? (ii) $\begin{eqnarray} z_n=\frac{1}{n^{4}}Im(i+n)^{5}=\frac{1}{n^{4}}Im(i(1-10n^{2}+3n^{4})+2+3n-10n^{3}+n^{5})=\frac{1}{n^{4}}(1-10n^{2}+3n^{4})=\frac{1-10n^{2}+3n^{4}}{n^4}=\frac{1}{n^{4}}-\frac{10}{n^{2}}+3 \end{eqnarray}$ Was sind denn davon jetzt die Häufungspunkte? naturlich muss n ungleich 0 sein. muss ich das jetzt iwie gleich 0 setzten? (iii) $\begin{eqnarray} z_n=\frac{1}{8^n}\|(1+i)^n\|\|2+2i\|^n =\frac{1}{8^n}\|(1+i)\|^n\sqrt{8}^n= \frac{1}{8^n}\sqrt{2}^n\sqrt{8}^n=\frac{\sqrt{8}^n}{8^n}\sqrt{2}^n=(\frac{\sqrt{8}}{8})^n\sqrt{2}^n=(\frac{1}{\sqrt{8}})^n\sqrt{2}^n=\frac{1}{\sqrt{8}^n}\sqrt{2}^n=\frac{\sqrt{2}^n}{\sqrt{8}^n}=(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}})^{n}=(\sqrt{2/8})^n=(\sqrt{1/4})^n=(\frac{1}{2})^n=\frac{1}{2^n} \end{eqnarray}$ Woran erkenn ich jetzt die Häufungspunkte? Meine Meinung nach der doch keine oder da jeder wert ja nur einmal vorkommt bzw es gegen einen Wert konvergiert gegen 0 Aufgabe 2: (ii) $\begin{eqnarray} z_n=(1/1+i)^n -> \|z_n\|=\|(\frac{1}{1+i})^n\|=\|\frac{1}{1+i}\|^n=(\frac{\|1\|}{\|1+i\|})^n=(\frac{1^n}{\sqrt{2}^n})=(\frac{1}{\sqrt{2}^n}) \end{eqnarray}$ Konvergiert also auch gegen 0 für n gegen unendlich da Betrag von z_n kleiner als 1? (iii) würde dann sagen es Konvergiert nicht weil es auch die vier Häufungspunkte hat?
10.05.2020, 13:33	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt (besser ist der Begriff Häufungswert statt Häufungspunkt, aber wenn ihr das Häufungspunkt nennt, bitte). Der einzige Häufungswert ist der Grenzwert. Das erledigt Aufgabe 1 (II) und (III). Wobei du dich in (II) beim Koeffizienten von $\begin{eqnarray} n^4 \end{eqnarray}$ verrechnet hast Aufgabe 2 (II) passt. Aufgabe 2 (III): Welche vier Häufungspunkte sollen das sein? Tatsächlich gibt es nur einen. Bleibt noch Aufgabe 1 (I): Hier kann man sich auch den Betrag von $\begin{eqnarray} \lambda (2+2i) \end{eqnarray}$ anschauen.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »