Kongruenz

10.05.2020, 16:23

Baumast

Kongruenz

Meine Frage:
Gilt diese Kongruenz für alle k?
$\begin{eqnarray*} k\cdot n+ \frac{k\cdot (k-1)}{2}\equiv0 \end{eqnarray*}$ mod k

Meine Ideen:
.

10.05.2020, 16:27

HAL 9000

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Setzen wir doch einfach mal $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ ein...

10.05.2020, 16:32

Baumast

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Aber es gilt doch $\begin{eqnarray*} k\cdot n\equiv 0 \end{eqnarray*}$ mod k und $\begin{eqnarray*} k\cdot\frac{k-1}{2}\equiv 0 \end{eqnarray*}$ mod k
Mir erschließt sich nicht warum für k=2 nicht gilt.

10.05.2020, 16:45

HAL 9000

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Herrje, du sollst KONKRET $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ einsetzen! Forum Kloppe

Dann mach ich es halt: Dann steht da $\begin{eqnarray*} 2n+1\equiv 0\bmod 2 \end{eqnarray*}$ , offenkundig falsch - und zwar für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

10.05.2020, 16:54

Baumast

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Das war mir durchaus bewusst. Aber mit einem allgemeinen k ist die Kongruenz in meinem Augen korrekt. Meine Frage ist, warum sie dann für k=2 falsch ist.

10.05.2020, 16:59

HAL 9000

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So ein Quatsch: Sobald es für ein EINZIGES k falsch ist, gilt es auch nicht mehr allgemein.

Was hast du denn für eine Auffassung von Aussagenlogik? unglücklich

Ich gebe dir insoweit recht, dass die Aussage für alle UNGERADEN k richtig ist, aber sie ist eben auch für alle GERADEN k falsch.

Zitat:

Original von Baumast
und $\begin{eqnarray*} k\cdot\frac{k-1}{2}\equiv 0 \end{eqnarray*}$ mod k

Du rechnest mit $\begin{eqnarray*} \frac{k-1}{2} \end{eqnarray*}$ , als wäre das AUCH für gerade $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ein Element des Restklassenrings $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/k\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Das ist grober Unfug!

10.05.2020, 19:54

Baumast

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Brauchte sie Kongruenz für folgende Aufgabe: Für welche natürlichen Zahlen k kann die Summe von k aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen eine Primzahl sein.
Es kommt nur k=2 in Frage oder habe ich etwas übersehen?

10.05.2020, 20:01

Baumast

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Und natürlich k=1

10.05.2020, 20:37

HAL 9000

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Für gerade $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ hast du nun mal keine Teilbarkeit durch $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , aber ja zumindest durch $\begin{eqnarray*} \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$ , und das reicht ja im Fall $\begin{eqnarray*} k\geq 4 \end{eqnarray*}$ auch für die Zusammengesetztheit der Zahlensumme:

$\begin{eqnarray*} kn + \frac{k(k-1)}{2} = \frac{k}{2}\cdot \left(2n+k-1\right) \end{eqnarray*}$

10.05.2020, 22:04

Baumast

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D.h. k=1 und k=2 sind die einzigen Lösungen?

10.05.2020, 22:08

HAL 9000

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Ja - zumindest dann, wenn die natürlichen Zahlen bei dir bei 1 starten.

Solltest du auch 0 zu den natürlichen Zahlen zählen, da wäre dann auch noch 0+1+2 = 3 .

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