Beweis Ungleichung

10.05.2020, 23:53	Baumast	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Ungleichung Meine Frage: Wie kann man die Ungleichung $\begin{eqnarray} a^{2}\cdot(1+b^{2})+b^{2}/cdot(1+c^{2})+c^{2}\cdot(1+a^{2})\geq 6abc \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hab probiert auszumultiplizieren bin aber auf kein Ergebnis gekommen
11.05.2020, 06:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht doch direkt mit AMGM: Für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \frac{a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2}{6} \geq \sqrt[6]{a^2\cdot a^2b^2\cdot b^2\cdot b^2c^2\cdot c^2\cdot c^2a^2} = \sqrt[6]{a^6b^6c^6} = \left\|abc\right\| \geq abc \end{eqnarray}$
11.05.2020, 09:02	davinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es kein Versehen war, dass das in der Schulmathematik gepostet wurde, hier eine elementare Alternative auf dem Niveau der 7./8. Klasse: $\begin{eqnarray} a^{2}\cdot(1+b^{2})+b^{2}\cdot(1+c^{2})+c^{2}\cdot(1+a^{2})\geq 6abc ~ \| ~ -6abc \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2-6abc \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2-2abc-2abc-2abc \geq 0 \end{eqnarray}$ Damit du auch noch was zu tun hast: Sortiere etwas um und denke an die 2. binomische Formel - und zwar genau dreimal.
11.05.2020, 09:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist das schöne daran, dass es nicht DIE eine Variante gibt. Hinsichtlich 7./8.Klasse: Es mag mit dem Schulwissen der 7./8.Klasse lösbar sein, aber ich tippe eher auf Wettbewerbsaufgabe $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 9.Klasse.
11.05.2020, 22:06	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut getippt: Mathe-Olympiade Ungleichung 381324
11.05.2020, 23:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hätte ich mich ja glatt erinnern müssen, und der Antwort nach könnte man es ja sogar annehmen. Aber das Problem war zu unbedeutend, dass der Thread wert war in Erinnerung zu bleiben.
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