Reihe Summen Partialbruchzerlegung

11.05.2020, 09:54	dohx	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe Summen Partialbruchzerlegung Liebe Community, ich habe da ein Problem. Ich soll den Grenzwert einer Reihe bestimmen. Diese ist: $\begin{eqnarray} b_n \sum_{k=1}^n (\frac{1}{4k^2-1}) \end{eqnarray}$ Durch eine Partialbruchzerlegung bin ich auf folgendes gekommen: $\begin{eqnarray} 1/2 \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k-1}) - 1/2 * \sum_{k=1}^n(\frac{1}{2k+1}) \end{eqnarray*}$ Nun würde ich die Summen gerne so umformen das sie sich gegenseitig auflösen. Dies jedoch ist mir bisher nicht gelungen. Ich komme immer auf 2/3 jedoch sollte das Ergebnis laut abschätzen mir Taschenrechenr der Reihe 1/2 sein.
11.05.2020, 10:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist auf der richtigen Spur, hast aber zu früh aufgegeben: Führe in einer der beiden Summen eine Indexverschiebung aus, so dass der Summandenterm in beiden Summen dann gleich ist: $\begin{eqnarray} 1/2 \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k-1}) - 1/2 * \sum_{k=1}^n(\frac{1}{2k+1}) = 1/2 * \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{1}{2k+1}) - 1/2 * \sum_{k=1}^n(\frac{1}{2k+1}) = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2\cdot 0+1} - \frac{1}{2n+1} \right) \end{eqnarray}$ Letztere Umformung basiert natürlich auf der Auslöschung, weil die Teilsumme $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2k+1} \end{eqnarray}$ in beiden* Summen vorhanden ist. Sowas ist unter dem Begriff Teleskopsumme bekannt.
11.05.2020, 10:22	dohx	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, ich bin einfach nicht drauf gekommen!

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