Reihe Majorantenkriterium Harmonisch?

11.05.2020, 13:40

dohx

Reihe Majorantenkriterium Harmonisch?

Ich würde gerne diese Reihe anhand des Majorantenkriterium abschätzen ob sie konvergiert:

$\begin{eqnarray*} b_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k^2-1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2-1} <= \frac{k}{k^2-k} = \frac{1}{k-1} \end{eqnarray*}$

Bin ich da falsch ran gegangen? Ich weiß mit der -1 nix anzufangen.

11.05.2020, 14:32

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RE: Reihe Majorantenkriterium Harmonisch?
korrekt ist die Abschätzung, aber eben nicht nützlich. Besser ist z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2-1}\leq \frac{1}{k^2/2} \end{eqnarray*}$ , die für welche k gilt?

11.05.2020, 14:35

dohx

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Ich sehe nicht genau was mit die /2 bringt und ich wär auch nicht darauf gekommen.

11.05.2020, 14:48

klarsoweit

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RE: Reihe Majorantenkriterium Harmonisch?

Zitat:

Original von dohx
Ich würde gerne diese Reihe anhand des Majorantenkriterium abschätzen ob sie konvergiert:

$\begin{eqnarray*} b_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k^2-1} \end{eqnarray*}$

Generell ist es ungünstig, wenn der erste Summand gar nicht definiert ist. Bezüglich der Konvergenzbetrachtung ist es fraglich, ob der Griff zum Majorantenkriterium unbedingt sein muß, wo man doch den Grenzwert der Reihe explizit angeben kann (sofern die Reihe mit k=2 startet).

11.05.2020, 14:52

dohx

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Oh sorry, die Reihe startet mit k = 2, aber wie erkennt ich jetzt das diese konvergiert? Welches Kriterium wär denn am besten? Ich muss halt vorher untersuchen ob die Reihe konvergiert.

11.05.2020, 15:03

klarsoweit

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Nun ja, es handelt sich um eine Teleskopsumme. Da kann man relativ leicht den Grenzwert bestimmen. smile

11.05.2020, 15:41

dohx

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Ja das bekomm ich auch hin nur weiß ich nicht wie ich vorher begründen kann das diese Summe ienen Grenzwert hat es gibt ja verschiedene Methoden.

11.05.2020, 16:40

HAL 9000

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Du musst da nichts VORHER begründen: Rechne die PARTIALSUMME $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ mit dem Teleskoptrick aus, und wenn diese Partialsumme dann für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann ist die Reihe konvergent - schlicht weil die Partialsummenkonvergenz die ureigene Definition der Reihenkonvergenz ist. Das gerät bei vielen vor lauter diverser Konvergenzkriterien gern außer Blick. smile

11.05.2020, 17:05

Leopold

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Wenn man sich zum ersten Mal mit der Reihe $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{align*}$ beschäftigt und noch keine großen Kenntnisse über Reihen der Form $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}} \end{align*}$ hat, dann ist die vorliegende Reihe geradezu prädestiniert als Majorante:

$\begin{align*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2-1} < \infty \end{align*}$

11.05.2020, 17:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von dohx
Ich sehe nicht genau was mit die /2 bringt und ich wär auch nicht darauf gekommen.

Um nochmal auf das Majoranten-Thema einzugehen:
Es ist leicht einzusehen, daß die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2-1} \leq \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ nicht funktioniert. Das paßt schon für k=2 nicht. Also muß man die rechte Seite ein bißchen größer machen. Da wäre also die nächste Idee, es mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^2-1} \leq \frac{2}{k^2} \end{eqnarray*}$ zu versuchen. Ein bißchen Umstellen und siehe da, die Ungleichung funktioniert. smile

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