NLGS mit 2020 und 2021

12.05.2020, 08:51

Dopap

NLGS mit 2020 und 2021

mit $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R^{*}_{+} \end{eqnarray*}$ ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems

I $\begin{eqnarray*} 2 x \lfloor y \rfloor = 2020 \quad \land \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} 3 y \lfloor x \rfloor = 2021 \end{eqnarray*}$ gesucht

I $\begin{eqnarray*} x \lfloor y \rfloor = 1010 \quad \land \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} 3 y \lfloor x \rfloor = 2021 \end{eqnarray*}$

allgemein gilt : $\begin{eqnarray*} \hat \xi = \xi - \lfloor \xi \rfloor \end{eqnarray*}$ dann folgt

I $\begin{eqnarray*} (\lfloor x \rfloor + \hat x)\lfloor y \rfloor = 1010 \quad \land \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} 3(\lfloor y \rfloor) + \hat y)\lfloor x \rfloor = 2021 \end{eqnarray*}$ und

I $\begin{eqnarray*} \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor + \hat x \lfloor y \rfloor = 1010 \quad \land \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} 3 \lfloor x \rfloor\lfloor y \rfloor +3 \hat y\lfloor x \rfloor = 2021 \end{eqnarray*}$ und weiterhin

I $\begin{eqnarray*} \hat x \lfloor y \rfloor =1010 - \lfloor x \rfloor\lfloor y \rfloor \in \mathbb Z \quad \land \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} 3 \hat y \lfloor x \rfloor = 2021 - 3 \lfloor x \rfloor\lfloor y \rfloor \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

bringt mich das irgendwie vorwärts ?

12.05.2020, 09:48

HAL 9000

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Der Gaußklammerfreund schlägt wieder zu. Big Laugh

Offenkundig muss $\begin{eqnarray*} x\geq 1,y\geq 1 \end{eqnarray*}$ gelten. Angenommen, es ist $\begin{eqnarray*} x\geq 2 \end{eqnarray*}$ :

In dem Fall ist $\begin{eqnarray*} x< \frac{3}{2}\lfloor x\rfloor \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} 2020 < 3\lfloor x\rfloor \lfloor y\rfloor \leq 3\lfloor x\rfloor y = 2021 \end{eqnarray*}$ .

Das führt der Ganzzahligkeit wegen unweigerlich zu $\begin{eqnarray*} 3\lfloor x\rfloor \lfloor y\rfloor = 2021 \end{eqnarray*}$ , was nicht geht, weil 2021 nicht durch 3 teilbar ist.

Bleibt nur der Fall $\begin{eqnarray*} 1\leq x<2 \end{eqnarray*}$ übrig, in dem Fall muss $\begin{eqnarray*} y = \frac{2021}{3}\approx 673.67 \end{eqnarray*}$ sein, was wiederum $\begin{eqnarray*} x=\frac{1010}{673}\approx 1.50074 \end{eqnarray*}$ zur Folge hat.

12.05.2020, 17:54

Dopap

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RE: NLGS mit 2020 und 2021
das sieht elegant und fast zu kompakt aus.
Etwas rechenintensiver so versucht:

Zitat:

Original von Dopap
I $\begin{eqnarray*} \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor + \hat x \lfloor y \rfloor = 1010 \quad \land \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} 3 \lfloor x \rfloor\lfloor y \rfloor +3 \hat y\lfloor x \rfloor = 2021 \end{eqnarray*}$

einfach zu

(I) $\begin{eqnarray*} \,\,\, \,\lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor + m = 1010 \quad \land \end{eqnarray*}$
(II) $\begin{eqnarray*} 3 \lfloor x \rfloor\lfloor y \rfloor + n= 2021\qquad m,n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ umgeschrieben.

(II)-3(I) -----> $\begin{eqnarray*} n-3m=-1009 \end{eqnarray*}$ -----> $\begin{eqnarray*} m>336 \end{eqnarray*}$ -----> $\begin{eqnarray*} [y]>336 \end{eqnarray*}$

und aus $\begin{eqnarray*} x[y]=1010 \end{eqnarray*}$ -----> $\begin{eqnarray*} x<306 \end{eqnarray*}$

bereits der Versuch $\begin{eqnarray*} [x]=1 \end{eqnarray*}$ führt zum Erfolg während größere $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ nicht passen.

12.05.2020, 18:54

HAL 9000

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Dann mal noch ein kleiner Blick in mein Oberstübchen, worauf ja U.Ruhnau auch so gern besteht:

Für große $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ gilt ja salopp formuliert $\begin{eqnarray*} \lfloor x\rfloor y \approx x\lfloor y\rfloor \approx xy \end{eqnarray*}$ .

Wenn also wie hier $\begin{eqnarray*} \lfloor x\rfloor y \end{eqnarray*}$ deutlich kleiner als $\begin{eqnarray*} x\lfloor y\rfloor \end{eqnarray*}$ ist, dann kann das nur dran liegen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\lfloor x\rfloor}{x} \end{eqnarray*}$ deutlich kleiner als 1 ist, hier ca. $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ . Dann muss man nur noch nachweisen, dass das für $\begin{eqnarray*} x\geq x_0 \end{eqnarray*}$ mit einem passend gewählten $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ so nicht vorkommen kann, und erledigt dann die kleineren $\begin{eqnarray*} \lfloor x\rfloor \end{eqnarray*}$ per Einzelfallberechnung - im vorliegenden Fall war das ja nur noch $\begin{eqnarray*} \lfloor x\rfloor = 1 \end{eqnarray*}$ .

12.05.2020, 22:02

Dopap

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Danke für diese Einblicke in die Schaltkreise von HAL 9000.

zur Mitarbeit angeregt stellt sich noch die Zusatzfrage nach ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ als Grundmenge.
Hier bietet sich $\begin{eqnarray*} x<0 , y<0 \end{eqnarray*}$ als zielführende Grundmenge 2.0 an.
Bei ähnlichem Vorgehen ergeben sich mit $\begin{eqnarray*} <br /> \left(-1010, - \frac{ 2021}{3030}\right) \text{und} \left(-505,-\frac{ 2021}{1515}\right) \end{eqnarray*}$
2 weitere Lösungstupel. imho

12.05.2020, 22:32

HAL 9000

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Richtig. Bei negativen Argumenten komme ich gedanklich bei der Gaußklammer immer durcheinander, daher würde ich im Fall $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ und dann notwendig $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ die Substitution $\begin{eqnarray*} u=-x,v=-w \end{eqnarray*}$ durchführen, was auf das System

$\begin{eqnarray*} 2u\left\lceil v\right\rceil = 2020 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3v\left\lceil u\right\rceil = 2021 \end{eqnarray*}$

führt. Hier haben wir für $\begin{eqnarray*} v>2 \end{eqnarray*}$ die Abschätzung $\begin{eqnarray*} v>\frac{2}{3}\left\lceil v\right\rceil \end{eqnarray*}$ und damit dann

$\begin{eqnarray*} 2020 = 3\left\lceil u\right\rceil \left\lceil v\right\rceil \geq 3\left\lceil u\right\rceil v = 2021 \end{eqnarray*}$ ,

sofort Widerspruch. Bleiben noch $\begin{eqnarray*} \left\lceil v\right\rceil=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\lceil v\right\rceil=2 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen, was wohl auf die von dir angegebenen Lösungen führt.

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