Füllhöhe umgekehrter Pyramidenstumpf

12.05.2020, 20:33	Sebooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Füllhöhe umgekehrter Pyramidenstumpf Meine Frage: Befülle eine Raffaello Verpackung (verdrehter pyramidenstumpf) mit kleinen Bechern Zucker und halte die Füllhöhe nach jeder Bechereinheit in einer Tabelle fest. Trage deine Werte in ein Diagramm ein und beschreibe den Graphen mathematisch. Warum kann es sich nicht um eine Parabel handeln? Skizziere eine Verpackung /Füllgefäß, deren Füllgraph einen Parabel entstehen lassen würde. Meine Ideen: Ich kann hier leider meine skizze+Kurve nicht hochladen. Die Werte, die ich beim Experiment ermittelt habe: (0/0),(1/2,5),(2/4),(3/5,5),(4/7),(5/8,5),(6/10)
13.05.2020, 00:15	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Füllhöhe umgekehrter Pyramidenstumpf [attach]51248[/attach] Angenommen, die Grundfläche der Verpackung sei $\begin{eqnarray} a\cdot a \end{eqnarray}$ , die Oberseite sei $\begin{eqnarray} b\cdot b \end{eqnarray}$ , die Verpackungshöhe sei H und die aktuelle Füllhöhe sei h. Ferner sei der Querschnitt der oberen Zuckerschicht $\begin{eqnarray} y\cdot y \end{eqnarray}$ . Dann muß zuerst die Füllbreite y in Abhängigkeit der Füllhöhe h bestimmt werden. Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{y-a}{h}=\frac{b-a}{H} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} y=a+\frac{h(b-a)}{H}=a+h\, m \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} m=\frac{b-a}{H} \end{eqnarray}$ Dann ist das Volumen $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ des eingefüllten Zuckers gleich der Summe der eingefüllten Volumina $\begin{eqnarray} \dd v \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} V=\int \dd v=\int_0^h\! y^2\dd x=\int_0^h\! (a+x\,m)^2\dd x=\left.\frac 1{3m}(a+x\,m)^3\right\|_{x=0}^{x=h}=\frac{(a+h\,m)^3-a^3}{3m} \end{eqnarray}$ Die Füllhöhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ läßt sich auch in Abhängigkeit vom eingefüllten Volumen $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ darstellen. Wie, kannst Du Dir ausrechnen. Rechne alles nochmal nach! Insgesamt hängt das Volumen kubisch von der Füllhöhe ab, nicht umgekehrt!

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