Volumen einer Statue

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Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen einer Statue
Ein Ex Schulkamerad hat hiermit ein kleines Problem:

Vor der hall of fame of rock soll zu Ehren von led zeppelin
und ihrem song "stairway to heaven" eine aufragend geschwungene
und enger werdende 15 feet hohe und 3 feet breite Treppe errichtet werden.
Die Stufenhöhen bezüglich der Waagrechten sind durch festgelegt.
Welches Volumen hat das Bauwerk wenn man von
ausgeht?

Der numerische Integrator menes TR liefert zwar unwillig
mit linker Grenze 0 und bei linker Grenze 1
obwohl das keine Rolle spielen sollte.

  • Kann ich ihm - und ein für alle mal- mit einem exakten Term dienen ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, den exakten Summenterm aufzustellen sollte für den nunmehr Gaußklammererfahrenen Dopap doch kein Problem sein: ist ja eine stückweise konstante Funktion, dementsprechend unterteilt man das Integrationsintegral in genau diese Stücke.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen einer Statue
Zitat:
Original von Dopap
Ein Ex Schulkamerad


Soso ... ein Ex-Schulkamerad ...

Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen einer Statue
Zitat:
Original von Dopap
Welches Volumen hat das Bauwerk wenn man von
ausgeht?



Die größte Schwierigkeit, bei Dopaps Rätseln besteht wie üblich darin, sie richtig zu verstehen. Anscheinend ist das Bauwerk eine Treppenpyramide, x der Höhen-Abstand zur Spitze und die Plateau-Fläche, die zu einer Stufe gehört.

Im Übrigen habe ich Leopolds Lösung mit Matlab numerisch geprüft und befinde sie als richtig.

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
>> s=0.001;
>> sh=s/2;
>> x=sh:s:4-sh;
>> y=3*floor(x.^2);
>> plot(x,y)
>> V=sum(y)*.001;
>> r=[1:15];
>> v=3*(60-sum(sqrt(r)));

Es kommt raus:
v=58.592410199572170 (Leopold)
V=58.593 (numerisch)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen einer Statue
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Die größte Schwierigkeit, bei Dopaps Rätseln besteht wie üblich darin, sie richtig zu verstehen.


Sollte die Stelle der Pythia in Delphi frei werden, schlage ich Dopap dafür vor. Im Sinne des Antidiskriminierungsgesetzes wird es Zeit, daß da mal ein Mann übernimmt.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen einer Statue
Zitat:
Original von Leopold
Soso ... ein Ex-Schulkamerad ...

mmh... scheint irgendwie logisch nicht zu stimmen.
Aber der ehemalige Mitschüler wird sicher mit zufrieden sein. Freude

@Ulrich Ruhnau: was verstehst du eigentlich ( wie üblich ) nicht? Das ist eine Aufgabe und kein Rätsel. Habe doch extra das entscheidende Integral für die Mathematiker hingeschrieben. Trotzdem: Der Faktor 3 ist die konstante Treppenbreite, zusammen mit der variablen Höhe=[x²] eine variable Querschnittsfläche.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen einer Statue
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Im Übrigen habe ich Leopolds Lösung mit Matlab numerisch geprüft und befinde sie als richtig.


Lieber Ulrich, manchmal denke ich: Soll ich mich jetzt ärgern? Aber dann muß ich doch wieder schmunzeln. Deine Redeweise ist irgendwie urkomisch. Ich und andere hätten vielleicht formuliert: Ich habe das Ergebnis mit Matlab überprüft und bin auf dasselbe gekommen. Oder so ähnlich. Du aber "befindest die Lösung als richtig".
Für eine numerische Bestätigung würde ich aber mit einem gewissen Maß an Skepsis an die Sache herangehen. Wenn man auf der einen Seite 15 Wurzeln mit Gleitpunktarithmetik addieren läßt, auf der anderen Seite ein Integral über eine stückweise konstante Funktion auswertet und es dabei eine Differenz von mehr als 0,0005 gibt, dann empfinde ich dies als relativ viel. Aber ich bin kein Fachmann für Numerik. Vielleicht gibt es eine Erklärung für die große Differenz.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen einer Statue
@Leopold,

zugegeben, meine Redeweise ist mir nicht gelungen. Ich kam einfach auf die Idee, auf die Schnelle darzustellen, was ich gemacht habe. Vielleicht interessiert sich jemand für Numerik.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen einer Statue
Zitat:
Original von Leopold
[...]
Für eine numerische Bestätigung würde ich aber mit einem gewissen Maß an Skepsis an die Sache herangehen.[...]

Unbedingt

Zitat:
[...] Vielleicht gibt es eine Erklärung für die große Differenz.


mein TR (HP 50g) verwendet ein schlichtes Sekanten-Verfahren welches sehr robust ist. Feine Sache bei differenzierbaren Funktionen, aber auch Knicke stören nicht wirklich. Die gewünschte Genauigkeit erzielt er durch Vergleich von den Werten bei laufend kleineren Streifenbreiten und gibt auch zeitgleich den IERR aus. Das klappt normalerweise schnell und genau. Hier ist aber praktisch bei 6 Ziffern Schluss. Ab dann meldet er sich nicht mehr.
Das Sprünge bereiten anscheinend je nach Intervalleinteilung beim Vergleich der Werte Probleme.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sind die Teilungspunkte für die Quadratur genau an den "falschen" Stellen, also nicht dort, wo unser Integrand seine Unstetigkeitsstellen besitzt.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

da kannst du getrost 'ne Wette eingehen. Augenzwinkern

das sieht man bei numerisch
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen einer Statue
Gestern hatte ich nicht viel Zeit, weil ich mit meinem Auto in die Werkstatt mußte. Daher machte ich nur einen schnellen numerischen Test, den ich heute mit der Schrittweite von einem Millionstel Fuß wiederholt habe (s=0.000001, V=58.592409).

Ein Taschenrechner rechnet niemals so schnell wie ein Computer, daher müßte Dopap einfach nur länger auf ein Ergebnis warten, wenn er die Schrittweite verkleinert.
Der numerische Fehler bei Dopap und mir ist von der Ordnung 1 , weil die Sprunggrenzen ein besseres Ergebnis bei konstanter Schrittweite nicht zulassen. Leopolds Ergebnis konnte ich inzwischen nachvollziehen:



Wenn man jedoch möglichst genau numerisch nachrechnen möchte, muß man sich den Stufengrenzen anpassen.

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß es nicht genau, aber ich nehme stark an, dass Leopold seine Formel aus dieser direkten Integralsumme hergeleitet hat, irgendwie so:

.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ich weiß es nicht genau, aber ich nehme stark an, dass Leopold seine Formel aus dieser direkten Integralsumme hergeleitet hat, irgendwie so:



Ich habe sogar nur diesen Term aufgestellt und den Rest mein CAS machen lassen. Dann noch minimal verschönert.
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